数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: ３次方程式 / Page: 0]

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■40437 / inTopicNo.1)

　３次方程式

□投稿者/ ともぞう一般人(1回)-(2010/01/01(Fri) 19:42:28)

３次方程式　2x^3+6x^2-9=0 の解について
X=x+1　と置くと　2X^3-6X-5=0
A=X+1/X と置くと　2(A^3+1/(A^3))-5=0
B=A^3　と置くと　2B^2-5B+2=0 →　(2B-1)(B-2)=0 → B=2,1/2
従って　あとは順にxまでたどって計算すればよいが
　　　　A^3=2
　　　　A^3=1/2
　Aの解は６つあるはずですが、xの解は当然３つです。
　Aの解の内２つは実数で、2^(2/3) と1/(2^(2/3)) 逆数の関係なので、
　１つは　x = 2^(2/3) + 1/(2^(2/3)) - 1

Ｑ１　Aの解の残りの４つの組み合わせで２つの解となるのでしょうか？
Ｑ２　Bの２次方程式の２つの解は、常に互いに逆数の関係なのでしょうか？

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■40440 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ３次方程式

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□投稿者/ らすかる大御所(728回)-(2010/01/02(Sat) 08:21:11)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2X^3-6X-5=0
ここから A=X+1/X と置いても
2(A^3+1/(A^3))-5=0
にはなりませんが…

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■40441 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ３次方程式

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□投稿者/ ともぞう一般人(2回)-(2010/01/02(Sat) 11:20:39)

逆でした。すみません。
2X^3-6X-5=0
ここで X=A+1/A と置いて
2(A^3+1/(A^3))-5=0

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■40445 / inTopicNo.4)

　Re[3]: ３次方程式

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□投稿者/ らすかる大御所(729回)-(2010/01/02(Sat) 19:24:34)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

Ａ１　なります。
Ａ２　「Bの２次方程式」は「2B^2-5B+2=0」ですから解は B=2,1/2 であり
　　　逆数の関係になっていますが、「常に」というのはどういう意味でしょうか。

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■40452 / inTopicNo.5)

　Re[4]: ３次方程式

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□投稿者/ ともぞう一般人(3回)-(2010/01/03(Sun) 17:51:57)

すべての３次方程式は、この方法で最終的にはＢの２次方程式に帰着して
解けると思いました。

ところが、Ｂの解はA^3の置換なので、ｘの解が3個になるためには
Ｂの解が互いに逆数の関係にならないとおかしいと思いました。
（重解も考えられますね）

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■40454 / inTopicNo.6)

　Re[5]: ３次方程式

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□投稿者/ らすかる大御所(731回)-(2010/01/03(Sun) 20:07:13)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

最初の方程式が 2x^3+6x^2+x-9=0 だったらどのようにするのですか？

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■40469 / inTopicNo.7)

　Re[6]: ３次方程式

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□投稿者/ ともぞう一般人(4回)-(2010/01/04(Mon) 20:16:14)

2x^3+6x^2+x-9=0の場合
(x-1)(2x^2+8x+9)=0より
x=1,-2±(1/√2)i　　---- ①

前回と同様に
X=x+1と置くと
2X^3-5X-6=0
X=A+(5/6)*(1/A)と置くと
2(A^3+(5/6)^3*1/A^3)-6=0
B=A^3と置くと
B^2-3B+(5/6)^3=0
B=3/2±19/6√6
よってAは、
A=a,-a/2±(√3a/2)i,,b,-b/2±(√3b/2)i
ただし,a=1+1/√6,b=1-1/√6
上記6個のAからX=A+(5/6)*(1/A)を計算すると
X=2,-1±(1/√2)iの３個でした。
x=X-1なので、①と一致しました。

Ｑ２ですが、Ｂの２次方程式の解と係数の関係から
Ｂの２つの解の積は、(5/6)^3になります。

ちなみにAの解をそれぞれ２つの組み合わた積は、
(a,b),(-a/2+(√3a/2)i,-b/2-(√3b/2)i),(-a/2-(√3a/2)i,-b/2+(√3b/2)i)
5/6でした。

前回は、X=A+(1)*(1/A)と置換できたので、
Ｂの２つの解の積は、たまたま１になりました。

以上です。

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