 | 別解もつけておきます。nを整数とするとき、
∫_{0～2π}cos^(2n+1)x dx=0 ・・・①
∫_{0～2π}cos^(2n)x dx=2∫_{0～π/2}cos^(2n)x dx + 2∫_{0～π/2}sin^(2n)x dx = 2B(1/2,n+1/2)・・・②
を利用します。
b>aならば
∫cosx/(b-acosx)dx = 1/b∫cosx/(1-acosx/b)dx =
1/b ∑_{k=0～∞} (a/b)^k∫cos^(k+1)x dx
①②より、1/b ∑_{k=0～∞} (a/b)^k∫cos^(k+1)x dx=
2/a ∑_{k=1～∞} (a/b)^(2k)B(1/2,k + 1/2)
2π/a ∑_{k=1～∞} (a/b)^(2k)(k+1/2-1)・・・・1/2/k!・・・③
ここで、B(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y) および、Γ(1/2)=√π
を用いました。
∑_{k=1～∞} x^k(k+1/2-1)・・・・1/2/k!は1/√(1-x)-1のTaylor展開になっていることに注意すると、
③=2π/a [1/√{1-(a/b)^2}-1]=2π/a [b/√(b^2-a^2)-1]
これは上の結果と一致します。
|