数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[10]: 複素数の問題 / Page: 0]

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■40361 / inTopicNo.1)

　複素数の問題

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□投稿者/ 虚数一般人(1回)-(2009/12/23(Wed) 12:53:29)

2009/12/23(Wed) 12:54:31 編集(投稿者)

次の計算の仕方を教えて下さい。

$2$ \sqrt{i} = \frac{1+i}{\sqrt2}$

お願いします。

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■40363 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 複素数の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(978回)-(2009/12/23(Wed) 13:22:39)

■No40361に返信(虚数さんの記事)
> 2009/12/23(Wed) 12:54:31 編集(投稿者)
> $2$ \sqrt{i} = \frac{1+i}{\sqrt2}$

i=e^(π/2・i) より、√i=e^(π/4・i)

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■40366 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 複素数の問題

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□投稿者/ 虚数一般人(2回)-(2009/12/23(Wed) 14:05:21)

2009/12/23(Wed) 14:10:57 編集(投稿者)

ありがとうございます。

■No40363に返信(miyupさんの記事)

>> $2$ \sqrt{i} = \frac{1+i}{\sqrt2}$

なぜ、
> $2$i = {e}^{\frac{\pi }{2}*i}$

となるのでしょうか？
また、

> $2$\sqrt{i} = {e}^{\frac{\pi }{4}*i}$

の後は、どのように計算すればよいのですか？

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■40367 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 複素数の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(980回)-(2009/12/23(Wed) 15:07:54)

■No40366に返信(虚数さんの記事)
> なぜ、
>> $2$i = {e}^{\frac{\pi }{2}*i}$
> となるのでしょうか？また、
>> $2$\sqrt{i} = {e}^{\frac{\pi }{4}*i}$
> の後は、どのように計算すればよいのですか？

e^(iθ)＝cosθ+i・sinθ なので、θ＝π/2 とすると
e^(i・π/2)＝cosπ/2+i・sinπ/2＝i です。
また
e^(i・π/4)＝cosπ/4+i・sinπ/4＝1/√2+i・1/√2 です。

別解
√i＝z とおくと、z^2＝i で
z＝r(cosθ+i・sinθ)とおき、i＝cosπ/2+i・sinπ/2 より
r^2・(cos2θ+i・sin2θ)＝cosπ/2+i・sinπ/2
すなわち
r＝1, 2θ＝π/2

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■40368 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 複素数の問題

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□投稿者/ 虚数一般人(3回)-(2009/12/23(Wed) 15:48:38)

解説ありがとうございます。

しかし、結果として、

$2$i = {e}^{\frac{\pi }{2}*i}$

$2$\sqrt{i} = {e}^{\frac{\pi }{4}*i}$

を、どのように結びつけて

$2$ \sqrt{i} = \frac{1+i}{\sqrt2}$

を計算したらよいのでしょうか？

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■40369 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 複素数の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(981回)-(2009/12/23(Wed) 15:59:45)

■No40368に返信(虚数さんの記事)
> $2$i = {e}^{\frac{\pi }{2}*i}$
> $2$\sqrt{i} = {e}^{\frac{\pi }{4}*i}$

e^(i・π/4)＝cosπ/4+i・sinπ/4

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■40385 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 複素数の問題

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□投稿者/ 虚数一般人(4回)-(2009/12/24(Thu) 19:24:33)