数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 別解を書いておきます。 / Page: 0]

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■40274 / inTopicNo.1)

　対数の不等式

□投稿者/ ｎ一般人(41回)-(2009/12/16(Wed) 15:40:29)

いつもお世話になっております。

不等式 $2$2<\log _n 50<3$ を満たすような自然数 $2$n$ をすべて求めよ。
ただし常用対数表を用いてよい。

という問題なのですが、どうやって解いたらいいのかまるで分かりません。
どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

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■40275 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 対数の不等式

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□投稿者/ サボテン一般人(21回)-(2009/12/16(Wed) 15:57:44)

log_n(50) = log_10(50)/log_10(n)を利用したらいかがでしょう?

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■40277 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 対数の不等式

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□投稿者/ ｎ一般人(42回)-(2009/12/16(Wed) 16:22:44)

■No40275に返信(サボテンさんの記事)
> log_n(50) = log_10(50)/log_10(n)を利用したらいかがでしょう?

ご返信有難うございます。
そこまでは自分でもわかりましたが、そこから先が分かりません。
もう少し教えて頂けると助かるのですが。

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■40278 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 対数の不等式

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□投稿者/ すっとこどっこい付き人(92回)-(2009/12/16(Wed) 22:21:45)

サボテンさんとｎさんの書き込み内容が常用対数表を用いて考える方向のようなので、その方針に従った解法を書きます。

○　サボテンさんのヒントの続きですが、
　　log_10(50)＝log_10(＿＿＿／＿)＝log_10(＿＿＿)－log_10(＿)＝＿－log_10(＿)となり、
　　ここで、常用対数表を用いると、log_10(50)≒＿－＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿となります。

○　nは自然数なので、log_10(n)＿0です。　←　＿には不等号が入ります。

○　2＜＿＿＿＿＿＿／log_10(n)＜3となりますが、分数を使った不等式って嫌ですね。各辺に何かをかけましょう。

○　先の手順により、2・＿＿＿＿＿＜＿＿＿＿＿＿＜3・＿＿＿＿＿となりますが、これは連立不等式ですね。

○　片方の不等式を解くと、log_10(n)＜＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿, 　←　左側の＿は計算式です。
　　もう一方の不等式を解くと、log_10(n)＞＿＿＿＿＿＿＿＿≒＿＿＿＿＿＿　←　左側の＿は計算式です。

○　＿＿＿＿＿＿＜log_10(n)＜＿＿＿＿＿＿より、常用対数表を用いると、
　　＿＿＿＿＜n＜＿＿＿＿となります。　　←　常用対数表から真数を求めます。

○　＿＿＿＿＜n＜＿＿＿＿を満たす自然数は、n＝＿, ＿, ＿, ＿です。

※　この問題は、常用対数表を使わずに解くことができますし、常用対数表を使わない解き方の方が楽です。

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■40279 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 対数の不等式

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□投稿者/ ｎ一般人(43回)-(2009/12/17(Thu) 00:05:29)

すっとこどっこいさんご返信有難うございます。
丁寧に解説していただいたにもかかわらず、分からないところがあるのです。

片方の不等式を解くと、log_10(n)＜log10(50)/2＝＿＿＿＿＿＿, 　←　左側の＿は計算式です。
　　もう一方の不等式を解くと、log_10(n)＞log10(50)/3≒＿＿＿＿＿＿　←　左側の＿は計算式です。
というところまではわかったのですが、
＿＿＿＿＿＿＜log_10(n)＜＿＿＿＿＿＿より・・・
となる意味が理解できませんでした。
もう少し教えて頂けると助かります。
よろしくお願い致します。

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■40280 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 対数の不等式

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□投稿者/ すっとこどっこい付き人(93回)-(2009/12/17(Thu) 03:10:51)

先の私の書き込みの＿＿＿＿では、不等号1か所, 式2か所以外は具体的な数字が入り、

私のこの書き込みの＿＿＿＿の部分は、全部具体的な数字が入ります。

> 片方の不等式を解くと、log_10(n)＜log10(50)/2＝＿＿＿＿＿＿,
> もう一方の不等式を解くと、log_10(n)＞log10(50)/3≒＿＿＿＿＿＿
> というところまではわかったのですが、

なるほど。合ってはいますが、先に、
> ○　サボテンさんのヒントの続きですが、
> 　　log_10(50)＝log_10(＿＿＿／＿)＝log_10(＿＿＿)－log_10(＿)＝＿－log_10(＿)となり、
> 　　ここで、常用対数表を用いると、log_10(50)≒＿－＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿となります。
と述べています。この部分の計算はしましたか?
この部分は常用対数表を利用してlog_10(50)の近似値を計算しています。

50＝＿＿＿／＿が思い浮かばないのなら、
log_10(50)＝log_10(＿＿×＿)＝log_10(＿＿)＋log_10(＿)＝＿＋log_10(＿)とし、
常用対数表を用いて、log_10(50)≒＿＋＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿
という近似値の求め方でもかまいません。

log_10(50)の近似値がわかれば、
log_10(n)＜(log10(50)／2≒)＿＿＿＿＿＿／2＝＿＿＿＿＿＿
log_10(n)＞(log10(50)／3≒)＿＿＿＿＿＿／3≒＿＿＿＿＿＿
となります。log_10(50)の近似値を求めていれば、ここの＿＿＿＿を埋めるのは難しくありません。

この計算ができていれば、
> ＿＿＿＿＿＿＜log_10(n)＜＿＿＿＿＿＿より・・・
> となる意味が理解できませんでした。
の＿＿＿＿を埋めるのは簡単です。

(イ)＿＿＿＿＿＿＜log_10(n)＜(ロ)＿＿＿＿＿＿がわかれば、
常用対数表をもう一度用いて、log_10(n)≒(イ), log_10(n)≒(ロ)をそれぞれ満たすnの値を探します。
(ここでの常用対数表の使い方は、log_10(50)の近似値を求める際の常用対数表の使い方とは異なります。)
そうすると、＿＿＿＿＜n＜＿＿＿＿が得られます。

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■40282 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 対数の不等式

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□投稿者/ ｎ一般人(44回)-(2009/12/17(Thu) 12:21:22)

ありがとうございました。
おかげさまで正解の $2$n=4,5,6,7$ に辿り着く事ができました。

解決済み!

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■40284 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 別解を書いておきます。

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□投稿者/ すっとこどっこい付き人(94回)-(2009/12/17(Thu) 15:24:28)

2009/12/17(Thu) 15:32:10 編集(投稿者)

log_n(50)について、対数の底の条件より、n≠1である。
log_n(50)＝xとおくと、n^x＝50が成り立ち、
1でない自然数nについて、n≧2(＞1)なので、f(x)＝n^xは増加関数となり、
2＜log_n(50)＜3、つまり、2＜x＜3のとき、f(2)＜f(x)＜f(3)なので、n^2＜n^x＜n^3、つまり、n^2＜50＜n^3となる。
1でない自然数nで、
n^2＜50を満たすのは、7^2＜50＜8^2より、(2≦)n≦7(＜8)…①, 　　←　nを2乗しても50より小さい
n^3＞50を満たすのは、3^3＜50＜4^3より、n≧4(＞3)…②なので、　　←　nを3乗すると50より大きい
①, ②より、4≦n≦7となり、求める自然数はn＝4, 5, 6, 7である。

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■40285 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 別解を書いておきます。

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□投稿者/ ｎ一般人(45回)-(2009/12/17(Thu) 16:58:43)

ありがとうございます。
参考になりました。

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