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■40125 / inTopicNo.1) 　e^xのテイラー展開について（オーダー？）
  ▼■
□投稿者/ army 一般人(13回)-(2009/12/03(Thu) 17:32:58)
    いつもお世話になっています。
    wikipediaを読んでもさっぱり言っていることが分からず困っています。
    どうしても理解したいのですが、どなたか分かりやすく説明していただけないでしょうか。

    e^x＝1＋x＋x^2/2＋O(x^3)

    このO(x^3)の意味が、どんな本やサイトを読んでも難しくて分からないのです。
    単なる省略ではないのですよね。アルゴリズムで言うランダウの記号の意味はいいのですが、それとは意味が違うようで。。。

    教えてください。
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■40133 / inTopicNo.2) 　（削除）
□投稿者/ -(2009/12/03(Thu) 23:52:15)
    この記事は(投稿者)削除されました
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■40136 / inTopicNo.3) 　Re[2]: e^xのテイラー展開について（オーダー？）
□投稿者/ サボテン 一般人(18回)-(2009/12/04(Fri) 15:47:30)
    いくつか資料を調べられたようなので、直感的な補足を。

    この場合は|x|が小さい時、
    誤差|e^x-(1＋x＋x^2/2)|が|x|^3の高々定数倍以下になると言う意味です。


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■40138 / inTopicNo.4) 　Re[3]: e^xのテイラー展開について（オーダー？）
□投稿者/ すっとこどっこい 付き人(77回)-(2009/12/04(Fri) 17:16:52)
    > サボテンさん

    サボテンさんが書かれている内容が正しいはずです。
    補足ではなくて完全な訂正ですね。ありがとうございます。

    記憶がかなりあいまいだったので、
    誤解を招かないように先の書き込みは削除しておきます。
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■40143 / inTopicNo.5) 　Re[3]: e^xのテイラー展開について（オーダー？）
□投稿者/ army 一般人(17回)-(2009/12/04(Fri) 19:53:01)
    ■No40136に返信(サボテンさんの記事)
    > いくつか資料を調べられたようなので、直感的な補足を。
    >
    > この場合は|x|が小さい時、
    > 誤差|e^x-(1＋x＋x^2/2)|が|x|^3の高々定数倍以下になると言う意味です。
    >
    >

    回答ありがとうございます。ではxが大きい時というのは、そのxの近くでテイラー展開すれば同じオーダーということになるのでしょうか（この質問はちゃんとテイラー展開の意味を分かっているということになりますでしょうか。少し不安です。）。
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■40321 / inTopicNo.6) 　Re[4]: e^xのテイラー展開について（オーダー？）
□投稿者/ sb 一般人(1回)-(2009/12/19(Sat) 23:23:02)
    指数関数のテイラー展開なので厳密には収束半径無限ですが、
    一般にはテイラー展開はxが小さいときに使う近似です。
    その意味でO(x^3)とは
    lim_(x->0) {O(x^3)/x^3}が無限にならず有限になるという意味で、
    とくにこの場合は
    O(x^3)=a*x^3+b*x^4+c*x^5+....
    と３次以上の多項式という意味です。
    ここで各次の係数 a,b,c,..は特に指定しないで有限ならなんでもかまいません。
    ですからxの大きい時というのはこの場合では考えていません。
    逆にxが小さいときの振る舞いを見ています。
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■40327 / inTopicNo.7) 　Re[5]: e^xのテイラー展開について（オーダー？）
□投稿者/ army 一般人(21回)-(2009/12/20(Sun) 10:01:37)
    ■No40321に返信(sbさんの記事)
    > 指数関数のテイラー展開なので厳密には収束半径無限ですが、
    > 一般にはテイラー展開はxが小さいときに使う近似です。
    > その意味でO(x^3)とは
    > lim_(x->0) {O(x^3)/x^3}が無限にならず有限になるという意味で、
    > とくにこの場合は
    > O(x^3)=a*x^3+b*x^4+c*x^5+....
    > と３次以上の多項式という意味です。
    > ここで各次の係数 a,b,c,..は特に指定しないで有限ならなんでもかまいません。
    > ですからxの大きい時というのはこの場合では考えていません。
    > 逆にxが小さいときの振る舞いを見ています。


    スレッドが下まで行っていたのにも関らず、回答ありがとうございます。
    よく分かりました。

    ところで、O(x^3)=a*x^3+b*x^4+c*x^5+....と書かれましたが、
    サボテンさんのご説明では、「誤差|e^x-(1＋x＋x^2/2)|が|x|^3の高々定数倍以下になると言う意味」となっているのですが、どういうことでしょうか。
    |x|^3の高々定数倍以下なのに、a*x^3+b*x^4+c*x^5・・・なのでしょうか。
    また何か私が勘違いしているのかもしれません。
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■40337 / inTopicNo.8) 　Re[6]: e^xのテイラー展開について（オーダー？）
□投稿者/ sb 一般人(2回)-(2009/12/20(Sun) 22:21:49)
    たかだかx^3の定数倍以下というのはその通りです。
    ただしここでの評価はあくまでxが十分小さいときに
    x^3の定数倍以下となるということです。
    x=0.01とかではa*x^3+b*x^4+c*x^5=0.00000a0b0c...
    abcが１桁ならこんな感じになり、４次以上が
    どうあろうと0.00000aとほぼ同じとなり３次のみの
    ax^3とかわりがなくなります。x=0.01よりもっと
    小さいとこの傾向は強くなります。すなわちxが十分小さいときに
    a*x^3+b*x^4+c*x^5...と|x|^3の高々定数倍すなわちdx^3とは
    同じこととなります。
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■40344 / inTopicNo.9) 　Re[7]: e^xのテイラー展開について（オーダー？）
□投稿者/ army 一般人(22回)-(2009/12/21(Mon) 09:53:24)
    再度ご丁寧にありがとうございました。解決致しました。
解決済み!
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