 | n! というのは，1, 2, 3, ..., n を順にかけていったものですから，
n!=n×{(n-1)!} という式が成り立つことをまず納得してください。
次のように組み分けするのがひとつの方法です。
分子の (7-k)! は，
(7-k)!=(7-k)×[{(7-k)-1}!]=(7-k)×{(6-k)!}
となるので，分母の (6-k)! と組み合わせて約分すると，分子に (7-k) が残ります。
分子の k! と分母の (k+1)! を組み合わせると，(k+1)!=(k+1)×(k!) なので
k!/(k+1)!=k!/{(k+1)×(k!)}=1/(k+1).
同じようにして
(k-1)!/k!=(k-1)!/[k×{(k-1)!}]=1/k,
(6-k)!/(5-k)!=(6-k){(5-k)!}/(5-k)!=6-k.
このようにして求める結果を得ることができます。
または，次のように計算することも出来ます。
ぱっと見，分子と分母に共通して現れる k!(6-k)! を約分して，
{(7-k)!k!(k-1)!(6-k)!}/{(6-k)!(k+1)!k!(5-k)!} ={(7-k)!(k-1)!}/{(k+1)!(5-k)!} .
ここで，n!=n{(n-1)!} と (n-1)!=(n-1){(n-2)!} を組み合わせて得られる
n!=n(n-1){(n-2)!} という式から
(7-k)!=(7-k)(6-k){(5-k)!},
(k+1)!=(k+1)k{(k-1)}!.
よって
{(7-k)!(k-1)!}/{(k+1)!(5-k)!}=(7-k)(6-k){(5-k)!}{(k-1)!}/[(k+1)k{(k-1)!}{(5-k)!}]
となり，分子分母に共通して現れる {(5-k)!}{(k-1)!} を約分すれば答えを得ます。
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