数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 三角関数 / Page: 0]

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■39946 / inTopicNo.1)

　三角関数

□投稿者/ アミ一般人(1回)-(2009/11/14(Sat) 18:27:33)

xy平面において、t＞0としてP(t,-t^3+at)、Q(0,2t^3)をとる。ただしa＞0とする。
直線y=axが∠QOPを二等分する時、⊿OPQの面積をaを用いて表しなさい。

ヒントに、tan∠QOP=1/(-t^2+a)とtan∠ROP=t^2/{1+a(-t^2+a)}(RはQPとy=axの交点)の利用とあるんですが、このヒントの式がどこから出てきたのかがわからないです。どうやるとこの式が出てくるのか教えて下さい。お願いします。

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■39948 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角関数

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□投稿者/ ottfoekst 一般人(1回)-(2009/11/14(Sat) 20:00:01)

2009/11/14(Sat) 20:02:25 編集(投稿者)

まずP,Qがどのような位置にあるのか考えましょう。すぐ分かるのはQはy軸の正の部分にあることです。Pのy座標は $2$a>0$ であることより、

$2$-t^3+at=-t(t^2-a)=-t(t-\sqrt{a})(t+\sqrt{a})$ となるのでPは $2$x=-\sqrt{a},0,\sqrt{a}$ でx軸と交わる逆N字型の3次関数のグラフ上にあることがわかります。以下、 $2$t>0$ のときにPのy座標が負になることもありますが( $2$t>\sqrt{a}$ のとき)Pが $2$x>0,y>0$ の領域にあると思ってもらえれば角度の対応が分かりやすいと思います。

tan ∠QOR=tan (90°-∠ROx軸)=1/(tan ∠ROx軸)

であり、tan ∠ROx軸= $2$\frac{-t^3+at}{t}=-t^2+a$ なので第1式が出ます。

また、∠ROP=∠QOP-∠QORであり、

上と同様にしてtan ∠QOR=tan(90°-∠ROx軸)=1/(tan ∠ROx軸)=1/a (y=axの傾き=tanはaだから)が分かるので、

tanの加法定理 $2$\tan {(\alpha -\beta)}=\frac{\tan {\alpha}-\tan {\beta}}{1+\tan {\alpha} \tan {\beta}}$ を用いて、

tan ∠ROP=tan(∠QOP-∠QOR)= $2$\left(\frac{1}{-t^2+a}-\frac{1}{a} \right)/\left(1+\frac{1}{-t^2+a}\times \frac{1}{a} \right)=\frac{t^2}{1+a(-t^2+a)}$
となり第2式も出ます。

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