数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: これって連立微分方程式でしょうか？ / Page: 0]

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■39929 / inTopicNo.1)

　これって連立微分方程式でしょうか？

□投稿者/ army 一般人(8回)-(2009/11/12(Thu) 21:17:05)

こんばんは、お世話になります。
今地球上での物体の運動について考えているのですが、運動座標系で解いて
いったとき次の3つの式を得ました。

$2$\frac{d^2x}{dt^2}=2\omega\frac{dy}{dt}\sin \theta$
$2$\frac{d^2y}{dt^2}=-2\omega(\frac{dx}{dt}\sin \theta+\frac{dz}{dt}\cos \theta)$
$2$\frac{d^2z}{dt^2}=-g+2\omega\frac{dy}{dt^2}\cos \theta$

これらの式よりx,y,z成分について各式の微分方程式を解きたいのですが、
やり方が分かりません。おそらく連立かと思いますか、調べてみて、その
通りに計算しているのですがうまく消去できず困っています。予想だと
たとえばyなら積分定数をC_1などで表わして

$2$y-C_1=C_2t-\omega t^2(C_2\sin \theta+C_4\cos \theta)+\frac{1}{3}\omega gt^3\cos \theta$

の形になってくれると今自分で考えているこの後の話がうまくいきそうなの
ですが、この形になるでしょうか。

解き方を教えていただけませんか。

x,y,zをそれぞれ厳密に計算していただくことは望みませんが、なるべく詳しい
解き方を希望します。お願い致します。

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■39933 / inTopicNo.2)

　Re[1]: これって連立微分方程式でしょうか？

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□投稿者/ サボテン一般人(13回)-(2009/11/13(Fri) 08:13:05)

θとは何でしょうか?
極座標系で考えた場合の角度を表しているのか、それとも定数なのか・・・。
ωは角速度で定数ですか？

考えていらっしゃる物体の運動についても書かれた方が回答がつきやすいと思います。

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■39935 / inTopicNo.3)

　Re[2]: これって連立微分方程式でしょうか？

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□投稿者/ army 一般人(9回)-(2009/11/13(Fri) 11:11:16)

大変失礼しました。
変数はx,y,z,ｔのみで、他ωやθは全て定数です。
かなり簡単な微分方程式です。

お願い致します。

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■39936 / inTopicNo.4)

　Re[3]: これって連立微分方程式でしょうか？

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□投稿者/ サボテン一般人(14回)-(2009/11/13(Fri) 11:29:36)

記号が見にくくて申し訳ありませんが・・

a≡2ωsinθ, b≡2ωcosθと定義します。

'を時間微分としvを速度を表すものとします。

v_x'=av_y・・・①
v_y'=-av_x-bv_z・・②
v_z'=-g+bv_y・・・③

①を用いてv_yを消去します。

v_x''=-a^2v_x-abv_z・・・④
av_z'=-ag+bv_x'

この式を積分して、
av_z=-agt+bv_x+C_1

これを④に代入します。

v_x''+(a^2+b^2)v_x=abgt+C_1

あとは普通の2階線形微分方程式です。

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■39953 / inTopicNo.5)

　Re[4]: これって連立微分方程式でしょうか？

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□投稿者/ army 一般人(10回)-(2009/11/15(Sun) 13:38:07)

■No39936に返信(サボテンさんの記事)
> 記号が見にくくて申し訳ありませんが・・
>
> a≡2ωsinθ, b≡2ωcosθと定義します。
>
> 'を時間微分としvを速度を表すものとします。
>
> v_x'=av_y・・・①
> v_y'=-av_x-bv_z・・②
> v_z'=-g+bv_y・・・③
>
> ①を用いてv_yを消去します。
>
> v_x''=-a^2v_x-abv_z・・・④
> av_z'=-ag+bv_x'
>
> この式を積分して、
> av_z=-agt+bv_x+C_1
>
> これを④に代入します。
>
> v_x''+(a^2+b^2)v_x=abgt+C_1
>
> あとは普通の2階線形微分方程式です。
>

サボテン様、ご丁寧にありがとうございます。
書いていただいたことはよくわかったのですが、vの二回微分というのは今回
たまたま出てきたものですが、特に意味はないのですよね。
二回線形微分方程式といえばy"+y'P(x)+yQ(x)=R(x)
という形だと思うのですが、導いていただいた> v_x''+(a^2+b^2)v_x=abgt+C_1
の左辺にtが入っているのですが、この場合はどうやって特殊解を求めればよい
のでしょうか。ヒントを頂けませんか。

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■39960 / inTopicNo.6)

　Re[5]: これって連立微分方程式でしょうか？

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□投稿者/ サボテン一般人(16回)-(2009/11/16(Mon) 09:10:17)

二階線形微分方程式はy"+y'P(x)+yQ(x)=R(x)の形ですが、今回は変数がxではなく、tです。(v_xはvのx成分と言う意味なので)

v_x''+(a^2+b^2)v_x=abgt+C_1の特殊解は
v_x=abgt/(a^2+b^2)+C_2です。

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■39966 / inTopicNo.7)

　Re[6]: これって連立微分方程式でしょうか？

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□投稿者/ army 一般人(11回)-(2009/11/16(Mon) 18:46:27)

あ～確かにその通りでした。よく確認しておりませんでした。
よくわかりました。ありがとうございました。感謝いたします。

解決済み!

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