 | 0 < 1-x < 2, 1-x ≠ 1, 0 < 1+x < 2, 1+x ≠ 1です。
また、(1-x)^(1/x) > 0ですから、不等式の両辺に(1-x)^(1/x)を乗じて
(1-x)^1 < {(1+x)^(1/x)}{(1-x)^(1/x)} = (1-x^2)^(1/x)であることが示せれば良いです。
対数関数は単調増加ですので、log(a) < log(b)ならば、a < bが成立します。
1-x > 0, 1-x^2 > 0ですから、証明すべき式(1-x) < (1-x^2)^(1/x)の両辺の対数を取って、
log(1-x) < (1/x)log(1-x^2)を証明できれば良いことになります。
f(x) = x*log(1-x)-log(1-x^2)とおげは、
(1) -1 < x < 0の場合、f(x) > 0
(2) 0 < x < 1の場合、f(x) < 0
であれば良い訳です。f(x)はx = 0でも値を持ちます。
f'(x) = log(1-x)+x*(-1)/(1-x)-(-2x)/(1-x^2) = log(1-x)+{-x*(1+x)+2x}/(1-x^2) = log(1-x)+x/(1+x)
f''(x) = -1/(1-x)+{1*(1+x)-x*1}/{(1+x)^2} = -1/(1-x)+1/{(1+x)^2} = {-(1+x)^2+(1-x)}/{(1-x)(1+x)^2}
= -x*(3+x)/{(1-x)(1+x)^2}
-1 < x < 0: f''(x) > 0, f'(x)は増加
x = 0: f''(x) = 0, f'(x)は極大, f'(0) = 0
0 < x < 1: f''(x) < 0, f'(x)は減少
以上からf'(x) ≦ 0ですので、f(x)は単調減少で、特にx ≠ 0でf'(x) < 0です。
f(0) = 0ですから、x < 0でf(x) > 0, x > 0でf(x) < 0であることが示されました。
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