数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: ベクトル空間を自分で定義します。 / Page: 0]

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■39850 / inTopicNo.1)

　ベクトル空間を自分で定義します。

□投稿者/ くるみ一般人(1回)-(2009/11/05(Thu) 16:52:50)

はじめまして。ベクトル空間の初心者なのですが、いまひとつ意味が
分かっていないようで、次の問題の意味と解答の意味が理解できず困って
います。

正の実数の集合
R+＝｛x∈R|x＞０｝
がR 上のベクトル空間となるように, 和（＋）とスカラー倍（＊）を定義せよ。
(公理を満たしていることを示す必要はありませんが, 零ベクトルと, x∈R+ の逆ベクトルが何かを答えて下さい). また, そのベクトル空間の次元と1 組の基底を求めよ(こちらは証明を与えて下さい)。

というものです。その解答が以下なのですが・・・

和（＋）　　　　t,s∈R+に対しt＋s:＝ts(実数の積)
スカラー倍（＊） λ∈R,t∈R+に対しλ＊t:＝t^λ(実数のべき乗)

と定めると, R(+) は1 が零ベクトルであり, x の逆ベクトルが1/x であるようなベクトル空間となる。
R+ のベクトル2を考えると, 任意のR+のベクトルx は
x ＝ (log_2[x])＊2　（底が2で真数xの対数にさっき定義したスカラー倍です）
と書けるので, ｛2｝はR+ を生成する. ｛2｝が1 次独立なことは明らかなので, 結局,上の演算で定めたベクトル空間R+ は｛2｝を基底とする1 次元のベクトル空間となる。

まず分からないのは、なぜあのような定義になるのかということです。抽象的な
ベクトル空間の話では、どの参考書にも和とスカラー倍の定義が書いてありまし
たが、この問題のようなものは見たことがありません。勝手に決めていいのですか。
それから、なぜ零ベクトルと逆ベクトルがこのようになるのか分かりません。
x＞0となっているのに零ベクトルってなんですか。
本当に数学できない頓馬なので許してほしいのですが、式もないのにどうやって
次元や基底を求めているのかもさっぱり分かりません。「R+ のベクトル2を考えると・・・」とありますが、なぜそのような発想になるのでしょうか。

独学で勉強しているため周りに聞くことのできる人がいないので困っています。
ご教授願います。

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■39855 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ベクトル空間を自分で定義します。

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□投稿者/ だるまにおん付き人(95回)-(2009/11/05(Thu) 20:21:03)

和 $2$+$ って、 $2$t,s \in \mathbb{R}_{+}$ に $2$\mathbb{R}_{+}$ の元を対応させる対応のことですから、公理を満たすのであれば自分で好きなように定義できますよね。

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■39861 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ベクトル空間を自分で定義します。

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□投稿者/ くるみ一般人(2回)-(2009/11/05(Thu) 21:42:57)

だるまにおんさま

返信ありがとうございました。。
まだ分かっていなくて、こんな質問はいらいらさせるかもしれませんが、
この場合の公理ってなんですか？
それから他に質問した内容に対しても回答してくださると嬉しいです。
どの本を読んでも難しく、わたしには読んだだけでは理解できません。

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■39866 / inTopicNo.4)

　Re[3]: ベクトル空間を自分で定義します。

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□投稿者/ だるまにおん付き人(97回)-(2009/11/06(Fri) 18:07:25)

>こんな質問はいらいらさせるかもしれませんが、
まだ大丈夫です。

>この場合の公理ってなんですか？
親記事に書いてある「公理」と同じものです。ベクトル空間の和とスカラー倍はある条件を満たしていなければいけませんでしたよね。教科書で確認しましょう。

>他に質問した内容に対しても回答してくださると嬉しいです。
和をきちんと理解していないと、説明のしようがありません。

$2$+$ の記号で考えるから、混乱するのではないでしょうか。
もっと浮世離れした記号で考えたら、理解できるかもしれません。
たとえば…

集合 $2$E$ について次のもろもろが成り立つとする。
　　 $2${^\forall}\mathbf{u} \in E, {^\forall}\mathbf{v} \in E$ に対して、演算 $2$\clubsuit$ によって $2$\mathbf{u} \clubsuit \mathbf{v} \in E$ が決まる。
　　 $2${^\forall} \mathbf{u} \in E, {^\forall}\mathbf{v} \in E, {^\forall}\mathbf{w} \in E \ \ (\mathbf{u} \clubsuit \mathbf{v})\clubsuit \mathbf{w} = \mathbf{u} \clubsuit (\mathbf{v}\clubsuit \mathbf{w})$
　　 $2${^\forall}\mathbf{u} \in E, {^\forall}\mathbf{v} \in E \ \ \mathbf{u} \clubsuit \mathbf{v} = \mathbf{v} \clubsuit \mathbf{u}$
　　 $2${^\exists} \mathbf{\theta} \in E, {^\forall} \mathbf{u} \in E \ \ \mathbf{u} \clubsuit \mathbf{\theta} = \mathbf{u}$
　　 $2${^\forall} \mathbf{u} \in E, {^\exists} \mathbf{u'} \in E \ \ \mathbf{u} \clubsuit \mathbf{u'} = \mathbf{\theta}$
　　 $2${^\forall}\mathbf{u} \in E, {^\forall} a \in \mathbb{R}$ に対して、 $2$\mathbf{u}_{a} \in E$ が決まる。
　　 $2${^\forall}\mathbf{u} \in E, {^\forall} a \in \mathbb{R}, {^\forall} b \in \mathbb{R} \ \ \mathbf{u}_{a+b} = \mathbf{u}_{a} \clubsuit \mathbf{u}_{b}$
　　 $2${^\forall}\mathbf{u} \in E, {^\forall}\mathbf{v} \in E, {^\forall} a \in \mathbb{R} \ \ (\mathbf{u} \clubsuit \mathbf{v})_{a} = \mathbf{u}_{a} \clubsuit \mathbf{v}_{b}$
　　 $2${^\forall}\mathbf{u} \in E, {^\forall} a \in \mathbb{R}, {^\forall} b \in \mathbb{R} \ \ \mathbf{u}_{(ab)} = (\mathbf{u}_{b})_{a}$
　　 $2${^\forall}\mathbf{u} \in E,\ \ {1} \in \mathbb{R} \ \ \mathbf{u}_1 = \mathbf{u}$
このとき $2$E$ を $2$\mathbb{R}$ 上のベクトル空間と言い、 $2$E$ の元をベクトル、 $2$\clubsuit$ を和、 $2$\mathbf{u}_{a}$ を $2$\mathbf{u}$ の $2$a$ 倍、 $2$\mathbf{\theta}$ を零ベクトル、 $2$\mathbf{u'}$ を $2$\mathbf{u}$ の逆ベクトルと言う。

例 $2$1$
$2$E=\mathbb{R}$ とし、 $2$\clubsuit$ を普通の足し算 $2$+$ と定義し、 $2$x \in \mathbb{R}$ の $2$a$ 倍 $2${x}_{a}$ を普通の掛け算 $2$ax$ で定義すると、集合 $2$\mathbb{R}$ と和 $2$+$ と $2$a$ 倍 $2$ax$ は上記のもろもろを満たし、 $2$E=\mathbb{R}$ は $2$\mathbb{R}$ 上のベクトル空間になる。零ベクトル $2$\mathbf{\theta}$ は普通の $2$0 \in \mathbb{R}$ 、 $2$x$ の逆ベクトルは $2$-x$ となる。

例 $2$2$
$2$E=\mathbb{R}_{+}$ とし、和 $2$\clubsuit$ を普通の掛け算 $2$\times$ と定義し、 $2$x \in \mathbb{R}_{+}$ の $2$a$ 倍 $2${x}_{a}$ をべき乗 $2${x}^{a}$ で定義すると、集合 $2$\mathbb{R}_{+}$ と和 $2$\times$ と $2$a$ 倍 $2${x}^{a}$ は上記のもろもろを満たし、 $2$E=\mathbb{R}_{+}$ は $2$\mathbb{R}$ 上のベクトル空間になる。零ベクトル $2$\mathbf{\theta}$ は $2$1 \in \mathbb{R}$ 、 $2$x$ の逆ベクトルは $2$\frac{1}{x}$ となる。

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■39868 / inTopicNo.5)

　Re[1]: ベクトル空間を自分で定義します。

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□投稿者/ FUD 一般人(2回)-(2009/11/06(Fri) 18:49:06)

2009/11/06(Fri) 19:05:55 編集(投稿者)

$2$\mathbb{R}$ をベクトルの通常の和とスカラー倍でベクトル空間と見るとき, 全単射 $2$\log :\ \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R};\, x \mapsto \log {x}$ あるいはその逆 $2$\exp:\ \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+;\, x \mapsto e^x$ がベクトル空間の同型となるように $2$\mathbb{R}_+$ に線型演算を定めただけですよね（実際には $2$\log$ や $2$\exp$ の底はなんでもよく、挙げられている模範解答では $2$2$ を底にしている）。 $2$\mathbb{R}$ は加法的な世界、 $2$\mathbb{R}_+$ は乗法的な世界ですが, これら二つの世界の情報はこのような全単射によって互いに容易に翻訳できるのですから、別段不思議な点は無いように思うのですが。なお、模範解答の定義は唯一絶対の天賦のものではなく、全単射さえあれば別な形での定義もありえます（まあ、同型という意味では同じになってしまいますが）。

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■39869 / inTopicNo.6)

　Re[4]: ベクトル空間を自分で定義します。

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□投稿者/ くるみ一般人(3回)-(2009/11/06(Fri) 18:55:33)

だるまにおんさま

大変丁寧にありがとうございます。だいぶ時間を割かれたかと思います。
ご迷惑をおかけしました。こんな私でもスッキリ理解できたような気がします。
今までのような「＋」という観念だけを持っていてはいけないのですね。
よく分かりました。

最後の質問というか確認なのですが、零ベクトルが1になるのは、x＊y＝x
となるyは1だからであり、逆ベクトルが1/xになるのは、今零ベクトルが1
なので、x＊y＝1となるyは1/xしかないから。ということでいいのでしょうか。

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■39870 / inTopicNo.7)

　Re[5]: ベクトル空間を自分で定義します。

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□投稿者/ だるまにおん付き人(99回)-(2009/11/06(Fri) 19:27:53)

良いと思います。

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■39871 / inTopicNo.8)

　Re[6]: ベクトル空間を自分で定義します。

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□投稿者/ くるみ一般人(4回)-(2009/11/06(Fri) 20:00:33)

最後までありがとうございました。無事解決することができました。