 | 2009/11/03(Tue) 00:16:00 編集(投稿者)
■No39826に返信(kさんの記事)
> 球面x^2+y^2+z^2=1とA(-2,0,0)を通る平面との交線をCとする。
> 座標(1,0,0)の点をBとして,
> B,Cから作られる円錐の体積の最大値を求めよ。
xz平面で考える。
点(-2,0)を通り傾きmの直線は z=m(x+2) ただし 0<m<1/√3
これと円x^2+z^2=1 との交点P,Qのx座標は
x^2+m^2(x+2)^2=1 すなわち (m^2+1)x^2+4m^2x+4m^2-1=0 の解で
x=α,β(α<β)とおくと、α+β=-4m^2/(m^2+1), αβ=(4m^2-1)/(m^2+1)
このとき
(β-α)^2=(α+β)^2-4αβ=4(1-3m^2)/(m^2+1)^2
平面が球から切り取る円の直径PQ=(√(m^2+1))(β-α)
直線 z=m(x+2) と点(1,0)との距離 h=|m-0+2m|/√(m^2+1)=3m/√(m^2+1)
よって円錐の体積は
V=1/3・π(PQ/2)^2・h=πm(1-3m^2)/(m^2+1)^(3/2)
V^2=π^2・m^2・(1-3m^2)^2/(m^2+1)^3 として
x=m^2 (0<x<1/3), f(x)=x(1-3x)^2/(x+1)^3 とおけば
f'(x) および増減表から x=1/11(=m^2) でV^2 すなわちVが最大になります。
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