数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 1・2…e(-e)(-e+1)(-e+2)…(-2)(-1)≡e!(-1)^e (mod p) / Page: 0]

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■39812 / inTopicNo.1)

　1・2…e(-e)(-e+1)(-e+2)…(-2)(-1)≡e!(-1)^e (mod p)

□投稿者/ nov 一般人(1回)-(2009/11/02(Mon) 00:43:41)

pを素数とし, e=(p-1)/2とする。この時1・2…e(-e)(-e+1)(-e+2)…(-2)(-1)≡e!(-1)^e (mod p)となる事を証明したいのですが

今,p=2e+1と書けるからWilsonの定理より (2e+1-1)!≡-1(mod p)と書けますよね。
これから (2e)!≡-1 (mod p)となり,(2e)(2e-1)(2e-2)…(2e-(e-1))e!≡-1 (mod p).

ここからどうすれば、、、

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■39813 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 1・2…e(-e)(-e+1)(-e+2)…(-2)(-1)≡e!(-1)^e (mod p)

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□投稿者/ だるまにおん付き人(89回)-(2009/11/02(Mon) 06:56:22)

pは"奇"素数でしょうか。

しかし、そうだとしても
p=5のときe=2で、
1*2*(-2)*(-1)=4 (mod5)
2!(-1)^2=2 (mod5)

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■39814 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 1・2…e(-e)(-e+1)(-e+2)…(-2)(-1)≡e!(-1)^e (mod p)

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□投稿者/ nov 一般人(3回)-(2009/11/02(Mon) 08:04:25)

> pは"奇"素数でしょうか。

はい。

> しかし、そうだとしても
> p=5のときe=2で、
> 1*2*(-2)*(-1)=4 (mod5)
> 2!(-1)^2=2 (mod5)

そうですね。うまくいきませんね。

結論は1・2…e(-e)(-e+1)(-e+2)…(-2)(-1)≡e!(-1)^e (mod p)ではないのかもしれません。

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■39817 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 1・2…e(-e)(-e+1)(-e+2)…(-2)(-1)≡e!(-1)^e (mod p)

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□投稿者/ だるまにおん付き人(91回)-(2009/11/02(Mon) 09:30:41)

1…e(-e)…(-1)≡-1 (mod p) なら成り立ちそうですが。

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■39818 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 1・2…e(-e)(-e+1)(-e+2)…(-2)(-1)≡e!(-1)^e (mod p)

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□投稿者/ WIZ 一般人(37回)-(2009/11/02(Mon) 10:14:15)

横から失礼します。
大した結果ではないですが、書き込ませて頂きます。

p = 2e+1ですから、pは奇数で、-e ≡ e+1 (mod p)です。よって、
1*2…e*(-e)(-e+1)(-e+2)…(-2)(-1) ≡ 1*2…e*(e+1)(e+2)(e+3)…(p-2)(p-1) ≡ -1 (mod p)
となる(だるまにおんさんの指摘)のはウィルソンの定理そのものです。

次に、1*2…e*(-e)(-e+1)(-e+2)…(-2)(-1) = (e!^2)*(-1)^eですから、
(e!^2)*(-1)^e ≡ -1 (mod p)が得られます。
上記から、e!^2 ≡ (-1)^e (mod p)という関係式は得られます。

p ≡ 1 (mod 4)、すなわちeが偶数ならば、e!^2 ≡ (-1)^e ≡ 1 (mod p)です。
p ≡ 3 (mod 4)、すなわちeが奇数ならば、e!^2 ≡ (-1)^e ≡ -1 (mod p)です。

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■39831 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 1・2…e(-e)(-e+1)(-e+2)…(-2)(-1)≡e!(-1)^e (mod p)

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□投稿者/ nov 一般人(4回)-(2009/11/03(Tue) 11:27:45)

皆様の仰るとおりでした。

証明すべき式は
1・2…e(-e)(-e+1)(-e+2)…(-2)(-1)≡(e!)^2 (-1)^e (mod p)
でした。

おかげさまで解決できました。

解決済み!

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