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■39772 / inTopicNo.1)

　証明問題

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□投稿者/ ちびた一般人(1回)-(2009/10/30(Fri) 08:21:37)

円周上に個の点を正多角形の位置に配置し、異なるどの2点も線分で結ぶとき、結んでできる線分の総数は n(n-1)/2個であることを証明せよ。
という問題です。
どうやって証明すればよいのでしょうか？
帰納法でしょうか？

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■39773 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 証明問題

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□投稿者/ ちびた一般人(2回)-(2009/10/30(Fri) 08:22:51)

■No39772に返信(ちびたさんの記事)
> 円周上に n個の点を正多角形の位置に配置し
の間違いでした。

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■39774 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 証明問題

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□投稿者/ WIZ 一般人(27回)-(2009/10/30(Fri) 10:22:55)

線分と始点と終点を考えます。
始点としてn通り、1つの始点に対する終点は始点自身を除くn-1通りあります。
但し、始点と終点を交換したもの数えてしまっていますので、
線分の数はn*(n-1)通りの半分になります。

別解として数学的帰納法で証明するのであれば以下の通りです。
n個の点のときa[n]本とすると、1個点を追加すると、追加した点から既存のn個の点へ
n本の線分が引けますから、a[n+1] = a[n]+nという漸化式が得られます。
これとa[1] = 0ということを組み合わせれば、a[n] = Σ[k=0,n-1]{k} = n*(n-1)/2が得られます。

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■39775 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 証明問題

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□投稿者/ ちびた一般人(3回)-(2009/10/30(Fri) 13:24:12)

レス有難うございます。

a[n] = Σ[k=0,n-1]{k} = n*(n-1)/2

ここの部分をもう少しわかりやすく、教えて頂けませんでしょうか？
展開方法が、よくわかりません。

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■39776 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 証明問題

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□投稿者/ WIZ 一般人(28回)-(2009/10/30(Fri) 20:41:12)

点がn個の場合の線分の本数をa[n]としました。

また、Σ[k=0,n-1]{k} = 0+1+2+・・・+(n-1)です。

a[n]は初項0, 公差1の等差数列のn項目までの和です。
等差数列の和の公式(?)より、a[n] = n*(0+(n-1)*1)/2 = n*(n-1)/2となります。

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■39794 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 証明問題

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□投稿者/ ちびた一般人(4回)-(2009/10/31(Sat) 20:09:48)

有難うございました。
理解できました。

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