 | (1)
t = sin(2θ)+cos(2θ)と解釈して回答します。
sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2であることを利用します。
t = (√2)*{sin(2θ)*(1/√2)+cos(2θ)*(1/√2)}
= (√2)*{sin(2θ)*cos(π/4)+cos(2θ)*sin(π/4)}
= (√2)*sin(2θ+π/4)
π/4 ≦ 2θ+π/4 ≦ 5π/4ですので、-1/√2 ≦ sin(2θ+π/4) ≦ 1です。
よって、-1 ≦ t ≦ √2です。
(2)
f(θ) = (1/2)*sin(4θ)+a*(2*sin(θ)^2-sin(2θ))と解釈して回答します。
f(θ) = (1/2)*2*sin(2θ)*cos(2θ)+a*(1-cos(2θ)-sin(2θ))
= sin(2θ)*cos(2θ)+a-at
= sin(2θ)*cos(2θ)+(1/2)*{sin(2θ)^2+cos(2θ)^2-1}+a-at
= (1/2)*{(sin(2θ)+cos(2θ))^2-1/2+a-at
= (1/2)t^2-at+(a-1/2)
(3)
g(t) = (1/2)t^2-at+(a-1/2)とおきます。
dg/dt = t-aです。増減表を書くと以下の通りです。
t < aならば、dg/dt < 0なので、g(t)は減少。
t = aならば、dg/dt = 0なので、g(t)は極小。g(a) = (-1/2)a^2+a-1/2 = (-1/2)(a-1)^2
t > aならば、dg/dt > 0なので、g(t)は増加。
よって、
a < -1ならば、常にt > aなので、最小値はg(-1) = 2a
-1 ≦ a ≦ √2ならば、最小値はg(a) = (-1/2)(a-1)^2
√2 < aならば、常にt < aなので、最小値はg(√2) = 1/2+a*(1-√2)
# 計算間違いしていたらごめんなさい。
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