 | 先ず、n > 1ならば
{cos(x)+(√2)cos(2x)+(√3)cos(3x)+…+(√n)cos(nx)}^2 ≠ cos(x)^2+2*cos(2x)^2+3*cos(3x)^2+…+n*cos(nx)^2
です。
以下解き方です。
f(n,x) = Σ[k=1,n]{(√k)cos(kx)}とおくと、J[n] = ∫[0,2π]{f(n,x)^2}dxです。
(1)
f(1,x) = cos(x)
⇒ J[1] = ∫[0,2π]{cos(x)^2}dx = ∫[0,2π]{(1+cos(2x))/2}dx = [x/2+sin(2x)/4]_[0,2π] = π
よって、n = 1ならば、J[n] = Σ[k=1,n]{kπ}です。
(2)
mを自然数として、J[m] = Σ[k=1,m]{kπ}と仮定します。
J[m+1] = ∫[0,2π]{f(m+1,x)^2}dx = ∫[0,2π]{(f(m,x)+(√(m+1))cos((m+1)x))^2}dx
= ∫[0,2π]{(f(m,x)^2+2*f(m,x)*(√(m+1))cos((m+1)x)+((√(m+1))cos((m+1)x))^2}dx
= J[m]+(2√(m+1))∫[0,2π]{f(m,x)*cos((m+1)x)}dx+(m+1)∫[0,2π]{cos((m+1)x)^2}dx
ここで、
f(m,x)*cos((m+1)x) = Σ[k=1,m]{(√k)cos(kx)cos((m+1)x)} = Σ[k=1,m]{(√k)(cos((m+1+k)x)+cos((m+1-k)x))}
よって、
∫[0,2π]{f(m,x)*cos((m+1)x)}dx = ∫[0,2π]{Σ[k=1,m]{(√k)(cos((m+1+k)x)+cos((m+1-k)x))}}
= Σ[k=1,m]{[(√k)(sin((m+1+k)x)/(m+1+k)+cos((m+1-k)x)/(m+1-k))]_[0,2π]}
= 0
# 1 ≦ k ≦ mより、m+1+k > 0, m+1-k > 0です。
更に、
∫[0,2π]{cos((m+1)x)^2}dx = ∫[0,2π]{(1+cos(2(m+1)x))/2}dx = [x/2+sin(2(m+1)x)/(m+1)]_[0,2π] = π
です。
以上から、
J[m+1] = J[m]+(2√(m+1))*0+(m+1)π = Σ[k=1,m]{kπ}+(m+1)π = Σ[k=1,m+1]{kπ}
(1)(2)より、数学的帰納法によるJ[n] = Σ[k=1,n]{kπ}の証明が完成しました。
|