数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: ∑の公式の導き方 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ1 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■3966 / inTopicNo.1)

　∑の公式の導き方

▼■

□投稿者/ にゃんこ一般人(1回)-(2005/09/15(Thu) 00:46:17)

・∑k^2=1/6*n*(n+1)*(2n+1)
・∑k^3={1/2*n*(n+1)}^2
これらの公式の導き方を教えてください。
数学的帰納法では導けたのですが、

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■3967 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ∑の公式の導き方

▲▼■

□投稿者/ みっちぃ付き人(91回)-(2005/09/15(Thu) 03:08:15)

Σ[k=1..n] k^2 についてです．詳しい計算は避けますが，ご了承ください．

それぞれのkについて，(k+1)^3-k^3= 3k^2+3k+1…① という展開がなされます．

①について，k=n,n-1,n-2…,1について足していきます．
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 (k=n)
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 (k=n-1)
…
3^3-2^3= 3*2^2 +3*2+1 (k=2)
2^3-1^3= 3*1^2 +3*1+1 (k=1)

(掲示板上では，きれいに縦には並んでませんが，計算するときは縦に並べて書いてくださいね．)

これらを縦に足していくと
左辺=(n+1)^3-1^3=n^3+3n^2+3n
右辺=3*Σ[k=1..n] k^2 +3*Σ[k=1..n] k +Σ[k=1..n] 1
=3{Σ[k=1..n] k^2} +3n(n+1)/2 +n
で，左辺=右辺として，求めたいΣ[k=1..n]k^2 だけ，左辺に残して後全部を移項して計算すれば，導けます．

Σ[k=1..n] k^3 も(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1 について和を取って計算します．

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■3968 / inTopicNo.3)

　Re[1]: ∑の公式の導き方

▲▼■

□投稿者/ kotatu 一般人(18回)-(2005/09/15(Thu) 06:09:19)

(i－1) i (i＋1)＝｛(i－1) i (i＋1)・(i＋2)－(i－2)・(i－1) i (i＋1)｝/4
4(i－1) i (i＋1)＝(i－1) i (i＋1) (i＋2)－(i－2) (i－1) i (i＋1)
Σ[i＝1,n] 4(i－1) i (i＋1)＝Σ[i＝1,n] (i－1) i (i＋1) (i＋2)－Σ[i＝1,n] (i－2) (i－1) i (i＋1)
Σ[i＝1,n] 4(i－1) i (i＋1)＝(n－1) n (n＋1) (n＋2)－0
4Σ[i＝1,n] (i＾3－i)＝(n－1) n (n＋1) (n＋2)
4Σ[i＝1,n] i＾3＝(n－1) n (n＋1) (n＋2)＋2n(n＋1)＝n(n＋1)(n＾2＋n)
Σ[i＝1,n] i＾3＝｛n(n＋1)/2｝＾2

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■4001 / inTopicNo.4)

　Re[1]: ∑の公式の導き方

▲▼■

□投稿者/ にゃんこ一般人(2回)-(2005/09/16(Fri) 17:31:25)

なるほど
ありがとうございました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター