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■39644 / inTopicNo.1)

　極限

□投稿者/ 白黒うさぎ一般人(1回)-(2009/10/12(Mon) 00:15:23)

aを定数とし、正の数からなる数列{x[n]}は
lim [n→∞] (√(x[n]+n)-√n)=a
を満たすとする。このとき、lim [n→∞] x[n]/√n=2aが成り立つことを示せ。

以下はバツをもらった自分の解き方です。
√(x[n]+n)-√nの分子を有理化して、x[n]/(√(x[n]+n)+√n)として、この分子と分母を√nで割ると、分子=x[n]/√n、分母=√(x[n]/n+1)+1となります。
n→無限のとき、分母において、x[n]/n→0より分母→2になるので、
lim [n→∞]x[n]/√n/2=aより、lim [n→∞] x[n]/√n=2aとなります。

自分の解き方はどこがいけないのでしょうか？自信があっただけに全然分からないです。あと正しい解き方も教えてください。お願いします。

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■39645 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限

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□投稿者/ らすかる大御所(681回)-(2009/10/12(Mon) 00:24:51)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞n→無限のとき、分母において、x[n]/n→0より分母→2になるので、
このように言える理由を説明する必要があります。
例えば x[n]=n だとすると、x[n]/n→1 です。

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■39646 / inTopicNo.3)

　x[n]はnに比べて小さいような…？

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□投稿者/ 白黒うさぎ一般人(2回)-(2009/10/12(Mon) 00:47:15)

らすかる様へ
早速の回答ありがとうございます。
＞例えば x[n]=n だとすると、x[n]/n→1 です。
でもx[n]=nのとき、√(x[n]+n)-√nは無限大に発散し、定数にならないような気がします。√(x[n]+n)-√nが収束するためには、x[n]はｎの次数が1未満のものでなければならないような気がします。そう考えますと、x[n]はnに比べて小さいので、やはりx[n]/n→0でいいような気がします…この考え方はおかしいでしょうか(極限は初心者です)？

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■39647 / inTopicNo.4)

　Re[3]: x[n]はnに比べて小さいような…？

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□投稿者/ らすかる大御所(682回)-(2009/10/12(Mon) 01:21:02)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2009/10/12(Mon) 01:22:42 編集(投稿者)

おかしくないですが、そこがこの問題の肝の部分ですから、
そのことをきちんと数学的に示さないとマルはもらえません。
「気がします」ではダメです。

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■39648 / inTopicNo.5)

　Re[4]: x[n]はnに比べて小さいような…？

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□投稿者/ 白黒うさぎ一般人(3回)-(2009/10/12(Mon) 01:46:17)

らすかる様へ
回答ありがとうございます。自分の間違いがよくわかりました。
次の質問ですが、「このように言える理由を説明する必要があります。」のやり方がわからないです。
x[n]はnに比べて小さいことを言えればよいので、x[n]＞nとして背理法を使うと考えたんですがどうもうまくいきません。
どうやったらよいでしょうか。教えてください。お願いします。

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■39651 / inTopicNo.6)

　Re[5]: x[n]はnに比べて小さいような…？

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□投稿者/ らすかる大御所(683回)-(2009/10/12(Mon) 12:07:08)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

lim[n→∞](√(x[n]+n)-√n)=a から
lim[n→∞]{(√(x[n]+n)-√n)/√n}=0
lim[n→∞](√(x[n]/n+1)-1)=0
lim[n→∞](√(x[n]/n+1))=1
lim[n→∞](x[n]/n+1)=1
lim[n→∞](x[n]/n)=0

あと
lim [n→∞]x[n]/√n/2=a
と書くのはまずいと思います。
（分母だけ先に極限をとるのは問題があります。）

n→∞のとき、分母において、x[n]/n→0より分母→2になるので、
lim[n→∞]{(x[n]/√n)/(√(x[n]/n+1)+1)}=a となるためには分子→2aでなければならない。
よって lim[n→∞](x[n]/√n)=2a
のように書けば問題ないと思います。

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■39657 / inTopicNo.7)

　Re[6]: x[n]はnに比べて小さいような…？

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□投稿者/ 白黒うさぎ一般人(4回)-(2009/10/12(Mon) 21:35:27)

らすかる様へ
とてもお詳しい解説をありがとうございます。ほぼわかりましたが、最後に二つ質問です。
＞lim[n→∞]{(√(x[n]+n)-√n)/√n}=0
2行目のこの式はどこから出てきたのでしょうか？これ以降のことは分かるのですが、どこからこの式が出てきたのかよくわからないです。

＞分母だけ先に極限をとるのは問題があります。
これはどういうことでしょうか？極限の公式に、

lim[n→∞]f(n)→αかつlim[n→∞]g(n)→βならばlim[n→∞]f(n)/g(n)→α/β(β≠0)

というのがありますよね。分数の極限は分子の極限と分母の極限の比なので、分子分母の極限をばらばらにとってもいいのではないのでしょうか？

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■39659 / inTopicNo.8)

　Re[7]: x[n]はnに比べて小さいような…？

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□投稿者/ らすかる大御所(684回)-(2009/10/12(Mon) 23:49:33)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞2行目のこの式はどこから出てきたのでしょうか？
lim[n→∞](√(x[n]+n)-√n)=a
lim[n→∞]√n=∞
ですから、割って
lim[n→∞]{(√(x[n]+n)-√n)/√n}=0
です。

＞lim[n→∞]f(n)→αかつlim[n→∞]g(n)→βならばlim[n→∞]f(n)/g(n)→α/β(β≠0)
これがあるからといって
lim[n→∞]{f(n)/g(n)}=lim[n→∞]{f(n)/β}
のように書いてよいことにはなりません。
もしこのように書きたければ、
lim[n→∞]f(n) と lim[n→∞]g(n) がまずある値（後者は0でない値）に
収束することを断ってから
lim[n→∞]{f(n)/g(n)}={lim[n→∞]f(n)}/{lim[n→∞]g(n)}={lim[n→∞]f(n)}/β
のようにしないと、減点されると思います。

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■39662 / inTopicNo.9)

　お礼

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□投稿者/ 白黒うさぎ一般人(5回)-(2009/10/13(Tue) 16:02:46)

らすかる様へ
よくわかりました。ありがとうございました。

解決済み!

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