 | 以下、演算子・はベクトルの内積とします。
(1)
Σ[k=1,n]{|p↑-u[k]↑|^2} = Σ[k=1,n]{|p↑|^2-2(p↑)・(u[k]↑)+|u[k]↑|^2}
= n*|p↑|^2-2(Σ[k=1,n]{u[k]↑})・(p↑)+Σ[k=1,n]{|u[k]↑|^2}
Σ[k=1,n]{u[k]↑}はベクトルで、Σ[k=1,n]{|u[k]↑|^2}は非負のスカラですから、
Σ[k=1,n]{u[k]↑} = U↑, Σ[k=1,n]{|u[k]↑|^2} = Tとおきます。Tは非負の実数です。
Σ[k=1,n]{|p↑-u[k]↑|^2} = |(√n)p↑|^2-2(U↑)・(p↑)+T^2 = |(√n)p↑-(U↑)/√n|^2+(T-|U↑|^2/n)
ここで、T-|U↑|^2/nはベクトルu[1]↑, u[2]↑,・・・, u[n]↑によってのみ決まる定数です。
T-|U↑|^2/n = Σ[k=1,n]{|u[k]↑|^2}-(Σ[k=1,n]{u[k]})^2/n
= {(Σ[k=1,n]{|u[k]↑|^2})*n-Σ[k=1,n]{u[k]})^2}/n
= {(Σ[k=1,n]{|u[k]↑|^2})*(Σ[k=1,n]{1^2})-(Σ[k=1,n]{u[k]*1})^2}/n
となり、コーシー・シュワルツの不等式より、T-|U↑|^2/n ≧ 0となります。
よって、Σ[k=1,n]{|p↑-u[k]↑|^2}を最小にするには、|(√n)p↑-(U↑)/√n|^2 = 0であれば良く、
(√n)p↑-(U↑)/√n = 0↑から、p↑ = (U↑)/nとなり、v↑ = (1/n)Σ[k=1,n]{u[k]↑}となります。
(2)
(1)より、|v↑| = |(1/n)Σ[k=1,n]{u[k]↑}| = (1/n)|Σ[k=1,n]{(cos(ka/n), sin(ka/n))}|です。
A = Σ[k=1,n]{cos(ka/n)}, B = Σ[k=1,n]{sin(ka/n)}とおけば、
|v↑| = (1/n)|(A, B)|より、|v↑|^2 = (1/n^2)(A^2+B^2)となります。
iを虚数単位, nを整数, xを実数とするとオイラーの公式(?)より、e^(ix) = cos(x)+i*sin(x)です。
よって、e^(inx) = cos(nx)+i*sin(nx)です。
また、e^(-ix) = cos(-x)+i*sin(-x) = cos(x)-i*sin(x)です。
これらから、cos(x) = (e^(ix)+e(-ix))/2, sin(x) = (e^(ix)-e(-ix))/(2i)となります。
x = a/nとすれば、A+iB = Σ[k=1,n]{e^(ikx)} = e^(ix)(1-e^(inx))/(1-e^(ix))です。
また、A-iB = Σ[k=1,n]{e^(-ikx)} = e^(-ix)(1-e^(-inx))/(1-e^(-ix))となります。
A^2+B^2 = (A+iB)(A-iB) = {e^(ix)(1-e^(inx))/(1-e^(ix))}{e^(-ix)(1-e^(-inx))/(1-e^(-ix))}
= {(1-e^(inx))(1-e^(-inx))}/{(1-e^(ix))(1-e^(-ix))}
= {2-e^(inx)-e^(-inx)}/{2-e^(ix)-e^(-ix)}
= {2-2cos(nx)}/{2-2cos(x)} = {1-cos(nx)}/{1-cos(x)} = {2sin(nx/2)^2}/{2sin(x/2)^2}
よって、|v↑|^2 = (1/n^2)(A^2+B^2) = (1/n^2){sin(nx/2)/sin(x/2)}^2
= (x^2/a^2){sin(a/2)/sin(x/2)}^2 = (sin(a/2)^2/a^2)(x^2/sin(x/2)^2)
n→+∞のとき、x→+0ですから、
lim[n→∞]{|v↑|^2} = lim[x→+0]{(sin(a/2)^2/a^2)(x^2/sin(x/2)^2)} = 4(sin(a/2)^2/a^2) = 2(1-cos(a))/a^2
となります。
(3)
(1)より、m = T-|U↑|^2/nです。
ここで、
T = Σ[k=1,n]{|u[k]↑|^2} = Σ[k=1,n]{|(cos(ka/n), sin(ka/n))|^2} = Σ[k=1,n]{cos(ka/n)^2+sin(ka/n))|^2} = n
|U↑|^2/n = |n*v↑|^2/n = n*|v↑|^2
よって、m = n*(1-|v↑|^2)です。
lim[n→∞](m/n^2) = lim[n→∞]((1-|v↑|^2)/n) = 0です。
# (3)の答えがあっさりしすぎているので、どこかで計算間違いしているのかも知れません。
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