 | 直接f'(x)やf''(x)を計算しても良いのですが、質問の問題を解くだけなら別の方法もあります。
y = f(x) = arcsin(x)とすると、sin(y) = x, dx/dy = cos(y)です。
f'(x) = dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/cos(y)
f''(x) = (d/dx)(dy/dx) = (d/dx)(1/cos(y)) = (dy/dx){(d/dy)(1/cos(y))} = (1/cos(y))(sin(y)/cos(y^2))
よって
(1-x^2)*f''(x)-x*f'(x)
= (1-sin(y)^2)*(sin(y)/cos(y)^3)-sin(y)*(1/cos(y))
= cos(y)^2*sin(y)/cos(y)^3-sin(y)/cos(y)
= sin(y)/cos(y)-sin(y)/cos(y)
= 0
です。
# 直接f'(x)やf''(x)を計算するのと大差ない計算量でした。
> またLeibnizの公式を用いて {(1-x^2)f''(x) - xf'(x)}^(n)を求めよ
上記が問題の一部ならば、その意図がよく分かりませんね。
前半で(1-x^2)*f''(x)-x*f'(x) = 0であることが分かってしまうので、
0^n = 0となって「Leibnizの公式を用いて」の意味がありません。
問題の全文を省略せず書いてもらうことは可能ですか?
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