 | 2009/09/30(Wed) 00:07:58 編集(投稿者)
(1)
(1+i)^2 = 2iですから、u = (1+i)/√2とおくと、i = u^2です。
与式 = 0 = (n^2)(u^2)x^2-4nu(i^n)x+3(-1)^n = (nux)^2-4(i^n)(nux)+3(-1)^n・・・(ア)
ここで(-1)^n = (i^n)^2ですから、v = i^nとすると、
(ア)の式 = 0 = (nux)^2-4v(nux)+3v^2 = (nux-v)(nux-3v)
よって、x = v/(nu) = (i^n)/(n*(1+i)/√2) = ((1-i)/√2)(i^2)/n
または、x = 3v/(nu) = 3((1-i)/√2)(i^2)/n
(2)
Z[n] = ((1-i)/√2)(i^2)/nです。
Σ[k=1,n]{Z[k]} = ((1-i)/√2){i/1+(-1)/2+(-i)/3+1/4+i/5+(-1)/6+(-i)/7+1/8・・・+(i^n)/n}
= ((1-i)/√2){(i/1-i/3+i/5-i/7・・・)-(1/2-1/4+1/6-1/8・・・)}
よって、
lim[n→∞]{Σ[k=1,n]{Z[k]}} = ((1-i)/√2){i*(π/4)-(1/2)log(2)} = (1/√2){(π/4-(1/2)log(2))+i*(π/4+(1/2)log(2))}
以上から、
lim[n→∞]{U[n]} = (π/4-(1/2)log(2))/√2, lim[n→∞]{V[n]} = (π/4+(1/2)log(2))/√2
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