 | (1)
直線lのx切片 = aもy切片 = bも正なので、楕円Cとの接点は第1象限です。
y = b-(b/a)xをx^2/u^2+y^2/v^2 = 1に代入すると、
x^2/u^2+{b-(b/a)x}^2/v^2 = 1
→ {(1/u^2)+(b^2/a^2)(1/v^2)}x^2+{-2b*(b/a)(1/v^2)}x+{b^2/v^2-1} = 0
→ {(v^2/u^2)+(b^2/a^2)}x^2+{-2b^2/a}x+{b^2-v^2} = 0
→ {v^2*a^2+b^2*u^2}x^2+{-2b^2*a*u^2}x+{(b^2-v^2)*a^2*u^2} = 0
→ {aavv+bbuu}x^2+{-2abbuu}x+{aauu*(bb-vv)} = 0
上記のxの2次方程式が正の実数解を重解として持つ必要があります。
判別式 = 0 = (abbuu)^2-(aavv+bbuu)*aauu*(bb-vv)
= aabbbbuuuu-(aavv+bbuu)*aauu*(bb-vv)
= aauu*{bbbbuu-(aavv+bbuu)(bb-vv)}
= aauu*{aavvvv+bbuuvv-aabbvv}
= aauuvv*{aavv+bbuu-aabb}
よって、aavv+bbuu-aabb = 0 → v^2 = b^2*(1-u^2/a^2)
(2)
y^2 = v^2*(1-x^2/u^2) = b^2*(1-u^2/a^2)(1-x^2/u^2)です。
V = 2∫[0,u]πy^2dx = 2πb^2*(1-u^2/a^2)∫[0,u](1-x^2/u^2)dx
= 2πb^2*(1-u^2/a^2)[x-x^3/(3u^2)]_[0,u]
= 2πb^2*(1-u^2/a^2)(u-u^3/(3u^2))
= 2πb^2*(1-u^2/a^2)(2u/3)
= (4π/3)b^2*(u-u^3/a^2)
dV/du = (4π/3)b^2*(1-3u^2/a^2)で、u = a/√3でdV/du = 0となります。
Vのuに対する増減表を書くと以下の通りです。
u = 0: V = 0 (u = 0は定義域外ですが参考値として)
0 < u < a/√3: dV/du > 0, Vは増加。
u = a/√3: dV/du = 0, Vは極大。
a/√3 < u < a: dV/du < 0, Vは減少。
よって、u = a/√3で最大値V = (4π/3)b^2*{(a/√3)-(a^3/(3√3))/a^2}
= (4π/3)b^2*{(a/√3)-a/(3√3))} = (4π/3)b^2*{2a/(3√3)} = (8π/(9√3))a*b^2
を取ります。
# 計算間違いしている可能性もありますので、上記を参考にご自身で計算し直してみてください。
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