 | a[1] = 1, b[1] = 0です。
1)
次の試行で同じ人がサイコロを振るのは、
・今回の試行で自分がサイコロを振り4, 5, 6が出た場合。
・今回の試行で相手がサイコロを振り2, 3が出た場合。
です。
よって、
a[n+1] = a[n]*(3/6)+b[n]*(2/6) = (1/2)a[n]+(1/3)b[n]・・・・・(ア)
b[n+1] = b[n]*(3/6)+a[n]*(2/6) = (1/3)a[n]+(1/2)b[n]・・・・・(イ)
です。
2)
(ア)+(イ)より、
a[n+1]+b[n+1] = (5/6)(a[n]+b[n])・・・・・(ウ)
a[n]+b[n]は、初項a[1]+b[1] = 1+0 = 1, 公比5/6の等比数列です。
一般項は、
a[n]+b[n] = (5/6)^(n-1)・・・・・(エ)
となります。
(ア)-(イ)より、
a[n+1]-b[n+1] = (1/6)(a[n]-b[n])・・・・・(オ)
a[n]-b[n]は、初項a[1]-b[1] = 1-0 = 1, 公比1/6の等比数列です。
一般項は、
a[n]-b[n] = (1/6)^(n-1)・・・・・(カ)
となります。
(エ)+(カ)より、
2*a[n] = (5/6)^(n-1)+(1/6)^(n-1) → a[n] = (1/2){(5/6)^(n-1)+(1/6)^(n-1)}・・・・・(キ)
(エ)-(カ)より、
2*b[n] = (5/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1) → b[n] = (1/2){(5/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)}・・・・・(ク)
3)
N回目の試行までにAが勝者と決まる確率をp[N]とすると、
1回目からN回目のどこかの試行でAがサイコロを振って1の目を出せば良いので、
p[N] = Σ[k=1,N]{a[k]*(1/6)}・・・・・(ケ)
となります。
(キ)(ケ)より、
p[N] = Σ[k=1,N]{(1/2){(5/6)^(k-1)+(1/6)^(k-1)}*(1/6)}
= (1/12){(1-(5/6)^N)/(1-5/6)+(1-(1/6)^N)/(1-1/6)}
= (1/12){(1-(5/6)^N)/(1/6)+(1-(1/6)^N)/(5/6)}
= (1/12){(1-(5/6)^N)*6+(1-(1/6)^N)*6/5}
= (1/10){5*(1-(5/6)^N)+(1-(1/6)^N)}
= (1/10){6-5*(5/6)^N+1-(1/6)^N}
|
