 | 関数の最小値は、定義域の境界での値または極小値となりますので、以下のような手順で解答することになります。
(i) 極小値を求める(極値となる可能性がある点を求める)
関数f(x,y)について、領域0<=x<=1,0<=y<=1内で、
(f(x,y)をxで偏微分した式)＝(f(x,y)をyで偏微分した式)＝0
を満たすx＝a,y＝bを求めて、f(a,b)を算出します。
(f(a,b)は、存在しない場合もあれば、複数個存在する場合もあります。)
本問で算出されるのは、f(5/8,3/4)＝19/16です。(が、極値ではありません。)
ここで、f(a,b)が極小値かどうかを確認すべきでしょうが、
最小値を求めるだけであれば、極小値かどうかの確認はしなくてもよいでしょう。
(ii) 定義域の境界上の最小値を求める
関数f(x,y)について、領域0<=x<=1,0<=y<=1の境界上の最小値を求めます。具体的には、
x＝0上のf(0,y), x＝1上でのf(1,y), y＝0上のf(x,0), y＝1上のf(x,1)の最小値をそれぞれ求めます。
本問で算出されるのは、f(0,1/3)＝2/3, f(1,1)＝1, f(0,0)＝1です。(f(1, 1)＝1は、f(1,y)とf(x,1)の最小値です。)
(iii) (i), (ii)の結果の中から最小のものを選ぶ
(i)で求めたf(a,b)と、(ii)で求めたf(0,y), f(1,y), f(x,0), f(x,1)の最小値を比較して、最小のものがf(x,y)の最小値となります。
本問では、f(5/8,3/4)＝19/16, f(0,1/3)＝2/3, f(1,1)＝1, f(0,0)＝1の中で最小であるf(0,1/3)＝2/3が最小値です。
(ii)を「定義域の境界上の最大値を求める」, (iii)を「最大のものを選ぶ」に置きかえると、同様に最大値を求めることができます。
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