数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 動径 / Page: 0]

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■39382 / inTopicNo.1)

　動径

□投稿者/ ルー一般人(1回)-(2009/09/04(Fri) 14:54:15)

aを正の定数とする。点Oを原点とする座標平面において、中心がOで、半径が1の円Cがある。
x≧0を満たす実数xに対して、角axの動径Lと円Cの交点をP、角π/2-x/6の動径Mと円Cの交点をQとする。
(1)PとQが一致するような最小のxを求めなさい。
(2)PとQが一致するようなxのうち、小さい方から数えて5番目のものを求めなさい
(3)PとQが一致するようなxをすべて求めなさい。

(1)はax=π/2-x/6を解いてあってました。
(2)は(1)の答えに2πを5回足せばいいと思ったんですが間違えていました。なぜでしょうか？
(2)と(3)の正しい解き方を教えてください。お願いします。

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■39383 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 動径

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□投稿者/ X 付き人(70回)-(2009/09/04(Fri) 16:13:45)

>>(2)は(1)の答えに2πを5回足せばいいと思ったんですが間違えていました。
>>なぜでしょうか？
L,Mの偏角はいずれもxではないからです。

(1)でルーさんは
ax=π/2-x/6
を解いてxを求めていましたが、実際はこれだけでは不十分です。
(このときのxが最小になる理由がありませんので解答としては△です)
LとMが一致するとき
ax=π/2-x/6+2nπ
(nは任意の整数)
これをxについて解き
x=(3π+12nπ)/(6a+1) (A)
a>0,x≧0に注意すると(A)は
n=0のとき、最小値3π/(6a+1)を取ることが分かります。
よって
(1)3π/(6a+1)
(2)(3)は(A)を使えば容易です。

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■39386 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 動径

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□投稿者/ 通りすがり一般人(1回)-(2009/09/05(Sat) 22:46:37)

横から失礼します。X氏の
＞LとMが一致するとき
ax=π/2-x/6+2nπ
(nは任意の整数)
についてですが、これはそんなに簡単な話ではないような気がします。
LとMは回転方向が逆なわけですから、動径が一周する前に交点を持ち得ます。
この点を考慮されていないようですが・・

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■39387 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 動径

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□投稿者/ らすかる大御所(662回)-(2009/09/06(Sun) 01:20:20)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2009/09/06(Sun) 01:55:01 編集(投稿者)

さらに横から失礼します。
＞通りすがりさん
＞動径が一周する前に交点を持ち得ます。
この「交点」とは何でしょうか？
問題の中にある「交点」はP,Qのことですが、これとは別のものですか？

私も（何か勘違いしているのかも知れませんが）Xさんと同じく
「PとQが一致する」⇔「角axと角π/2-x/6の差が2πの整数倍」⇔「ax=π/2-x/6+2nπ」
で良いように思います。

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■39389 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 動径

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□投稿者/ このまま通りすがったほうがいいかも一般人(1回)-(2009/09/06(Sun) 16:47:19)

らすかる氏へ
表現がおかしかったですね。失礼しました。
＞この「交点」とは何でしょうか？
PとQが一致する場所という意味のつもりでした。
＞私も（何か勘違いしているのかも知れませんが）
むしろ私のほうが勘違いしているのかもしれませんが、PとQは互いに反対方向に回転するので、一周してくる前にもPとQが重なることがあるように思えます(図を描いてみると)。
すみませんもうちょっと考えてみます。

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■39390 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 動径

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□投稿者/ らすかる大御所(663回)-(2009/09/06(Sun) 17:38:36)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞PとQは互いに反対方向に回転するので、一周してくる前にも
＞PとQが重なることがあるように思えます(図を描いてみると)。
(1)の解（n=0の場合の解） x=3π/(6a+1) は、一周する前にPとQが一致する、
動径が 3aπ/(6a+1) になる時の値です。

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■39391 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 動径

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□投稿者/ このまま通りすがったほうがいいかも一般人(2回)-(2009/09/06(Sun) 18:40:08)

n=0とn=1の間にもPとQが重なる場合はありませんか？

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■39392 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 動径

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□投稿者/ らすかる大御所(664回)-(2009/09/06(Sun) 20:20:31)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

ありませんよ。
n=0→n=1で、PとQを“合わせて”一周し、n=1で再びPとQが一致します。
n=1というのはPもQも一周した後のことではありません。
もし ax=π/2-x/6+2nπ, 0＜n＜1 だったら
ax と π/2-x/6 が同じ角度を示していませんから、PとQが一致するわけがないですね。

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■39393 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 動径

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□投稿者/ X 付き人(71回)-(2009/09/06(Sun) 20:52:16)

横から失礼します。
>>通りすがりさんへ
この問題、突き詰めて考えると確かに惑わされますね。
以下のように考えてみました。

n回目に動径が一致するときのPの偏角をα[n]、このときのxをx[n]とします。
するとまず１回目に動径が一致する場合
ax[1]=π/2-x[1]/6=α[1] (A[1])
２回目に一致する場合、基準を偏角0にすることを考えて
(ax[2]-α[1])-(π/2-x[2]/6-α[1])=2π
∴ax[2]=(π/2-x[2]/6)+2π=α[2] (A[2])
さてこのときのQの偏角が
π/2-x[2]/6=α[2]-2π
であることに注意すると3回目も同様に基準を偏角0にすることを考えて
(ax[3]-α[2])-{π/2-x[3]/6-(α[2]-2π)}=2π
∴ax[3]=(π/2-x[3]/6)+4π=α[3] (A[3])
以下同様にして
ax[n]=(π/2-x[n]/6)+2nπ=α[n]
となります。

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■39394 / inTopicNo.10)

　Re[1]: 動径

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□投稿者/ ルー一般人(2回)-(2009/09/06(Sun) 21:43:01)

To回答してくださった皆様

どうもありがとうございました。核心のax=π/2-x/6+2nπをきちんと覚えます^^

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■39405 / inTopicNo.11)

　Re[1]: 動径

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□投稿者/ ルー一般人(3回)-(2009/09/12(Sat) 07:46:11)

復習していたら私も通りすがり様と同じ疑問を持ってしまいました。
動径Lはx軸と一致した状態(角0の動径)から反時計回りに回転し、動径Mはy軸と一致した状態(角π/2の動径)から時計回りに回転することになります。
するとまず、x=3π/(6a+1)のときにPとQがはじめて一致することになります。
ここからですが、Pは一致した状態から反時計回り、Qは一致した状態から時計回りをするわけですから、一回目に一致したx=3π/(6a+1)の状態からから、動径L、Mが一周したx=3π/(6a+1)+2πの間に、PとQの2回目の一致が絶対にあるような気がします。指でなぞってみると一回目の一致したところから、一周してそこに戻ってくるまでの間にPとQは別のところで一致します。
自分が考え違いをしているんでしょうが、考え方のどこが違うのかが分からないです。
それともう一つ、x様の解答欄の「ax=π/2-x/6+2nπ」の式についてですが、2nπを加えるのが、axではなくπ/2-x/6の方でなければならない理由が分からないです。
ここのところを教えていただけないでしょうか。お願いします。

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■39406 / inTopicNo.12)

　Re[2]: 動径

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□投稿者/ らすかる大御所(665回)-(2009/09/12(Sat) 08:23:26)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞一回目に一致したx=3π/(6a+1)の状態からから、
＞動径L、Mが一周したx=3π/(6a+1)+2πの間に、
＞PとQの2回目の一致が絶対にあるような気がします。

x=3π/(6a+1)の次に一致するのはx=3π/(6a+1)+2πではありません。
xに2πを足してはいけません。
ax=π/2-x/6+2nπを解くとx=(12n+3)π/(6a+1)ですから、
最初に一致するのがn=0のときすなわちx=3π/(6a+1)、
次に一致するのはn=1のときすなわちx=15π/(6a+1)となります。

＞2nπを加えるのが、axではなくπ/2-x/6の方でなければならない理由が分からないです。
π/2-x/6の方でなければならない理由はありません。axの方に足しても大丈夫です。
その場合は、１回目に一致するのがn=0のとき、２回目がn=-1のとき、…のように
減っていくだけです。

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