 | nを自然数として、a[n] = 2^n, b[n] = 3n+2とします。
b[n]は5以上の自然数のうち、3で割ったら2余る数です。
すなわちc[n]はa[n]のうち、5以上で、かつ3で割ったら2余るものを昇順に並べたものです。
a[n]の値と、a[n]を3で割った余りを書いてみると
a[1] = 2, a[1]を3で割った余り = 2
a[2] = 4, a[2]を3で割った余り = 1
a[3] = 8, a[3]を3で割った余り = 2
a[4] = 16, a[4]を3で割った余り = 1
a[5] = 32, a[5]を3で割った余り = 2
となり、a[n]を3で割った余りは2と1が交互に出てくることが予想できます。
上記予想は証明可能です。
先ず3で割った余りは0, 1, 2のどれかになります。
またa[n]は2のべき乗ですから3を素因数に持つことはなく、
よってa[n]の中に3で割り切れる(3で割った余りが0になる)ものはなく、
a[n]を3で割った余りは1, 2のどちらかになります。
a[n+1] = a[n]*2です。
(1)もしa[n]を3で割った余りが1ならば、qを自然数としてa[n] = 3q+1とおくことができます。
a[n+1] = (3q+1)*2 = 3*(2q)+2
よってa[n+1]を3で割った余りは2です。
(2)もしa[n]を3で割った余りが2ならば、qを自然数としてa[n] = 3q+2とおくことができます。
a[n+1] = (3q+2)*2 = 3*(2q+1)+1
よってa[n+1]を3で割った余りは1です。
(1)(2)からa[n]を3で割った余りは2と1が交互に出てくる理由が分かったと思います。
以上から、nが奇数の場合、a[n]を3で割った余りは2となりますが、
a[1] = 2はb[n]に含まれないので、
c[n] = a[2n+1] = 2^(2n+1)となります。
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