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■39283 / inTopicNo.1)

　方程式と不等式の問題

□投稿者/ SKY 一般人(1回)-(2009/08/14(Fri) 18:40:45)

a,b,cは正の整数とする。
(1)実数x,yが
a/x+b/y=1,x>0,y>0
を満たしながら変化するとき、x+yの最小値を求めよ

(2)実数x,y,z
a/x+b/y+c/z=1,x>0,y>0,z>0
を満たしながら変化するとき、x+y+zの最小値を求めよ

この２問がわかりません。解説をお願いします

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■39285 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 方程式と不等式の問題

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□投稿者/ のぼりん一般人(2回)-(2009/08/15(Sat) 09:25:39)

こんにちは。（２）を回答しますので、（１）はこれに倣ってやってみて下さい。

幾何学的に考えるのが簡単ではないかと思います。題意の条件の下、
　　　 $2$ \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1$ 　　　…　☆
は、ｘｙｚ座標系上、ｘ，ｙ，ｚ＞０の部分の曲面です。
この曲面上、ｘ＋ｙ＋ｚが最小となるのは、☆ の上で法線ベクトルが（１，１，１）に平行な点においてです。
☆ の法線ベクトルは、
　　　 $2$-\left(\frac{a}{x^{2}},\frac{b}{y^{2}},\frac{c}{z^{2}}\right)$
だから、正値パラメタ λ により、
　　　 $2$ \frac{a}{x^{2}}=\frac{b}{y^{2}}=\frac{c}{z^{2}}=\lambda^{2}$
です。
$2$x=\lambda\sqrt{a},\quad y=\lambda\sqrt{b},\quad z=\lambda\sqrt{c}$ を ☆ に代入し、 $2$\lambda=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ です。
よって、ｘ＋ｙ＋ｚは、
　　　 $2$x=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\sqrt{a},\quad y=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\sqrt{b},\quad z=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\sqrt{c}$
で最小となり、
　　　 $2$x+y+z=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^{2}$
です。

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■39286 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 方程式と不等式の問題

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□投稿者/ のぼりん一般人(3回)-(2009/08/15(Sat) 16:06:30)

面倒だけど初等的な別解がありました。

（１）　 $2$ \frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1$ 　　…　〔１〕
は、題意の条件ではｘ＞ａ、ｙ＞ｂの範囲にのみ存在します。〔１〕を式変形し、
　　　（ｘ－ａ）（ｙ－ｂ）＝ａｂ　…　〔２〕
です。相加・相乗平均の関係式により、
　　　 $2$x+y=(x-a)+(y-b)+a+b$
　　　 $2$\geq 2\sqrt{(x-a)(y-b)}+a+b$
　　　 $2$=2\sqrt{ab}+a+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}$ 　…　〔３〕
です。ｘ－ａ＝ｙ－ｂのとき等号が成立します。〔２〕より、
　　　 $2$x=a+\sqrt{ab},\quad y=b+\sqrt{ab}$
が成り立つときｘ＋ｙは最小値〔３〕を取ります。
　　　

（２）　 $2$ \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1$ 　　…　〔４〕
は、題意の条件ではｘ＞ａ、ｙ＞ｂ、ｚ＞ｃの範囲にのみ存在します。ｚを任意に固定し、
　　　 $2$u = \frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}}{1-\frac{c}{z}},\quad a^{\prime}=\frac{a}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}}u,\quad b^{\prime}=\frac{b}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}}u$
とおくと、〔４〕は、
　　　 $2$ \frac{a^{\prime}}{x}+\frac{b^{\prime}}{y}=1$ 　　…　〔５〕
です。（１）より、ｘ＋ｙの最小値は、
　　　 $2$x+y=\left(\sqrt{a^{\prime}}+\sqrt{b^{\prime}}\right)^{2}=u$
で、このとき、
　　　 $2$x=a^{\prime}+\displaystyle \sqrt{a^{\prime}b^{\prime}}=\frac{a+\sqrt{ab}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}}u,\quad y=\frac{b+\sqrt{ab}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}}u$
です。これは、ｚの値によらず、常に $2$x:y$ が一定です。〔４〕に代入し、
　　　 $2$1 = \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{\frac{a\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}}{a+\sqrt{ab}}+\frac{b\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}}{b+\sqrt{ab}}}{u}+\frac{c}{z}$
　　　 $2$= \frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}}{u}+\frac{c}{z}$
です。再び（１）により、ｕ＋ｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚは最小値
　　　 $2$\left(\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}}+\sqrt{c}\right)^{2}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^{2}$
を取ります。

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