数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 積分 / Page: 0]

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■39124 / inTopicNo.1)

　積分

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□投稿者/ さ- 一般人(1回)-(2009/07/24(Fri) 21:32:59)

(1)∫[0→π]（cos3xcosx）dx
(2)∫[0→1](e^x-1/√e^x)dx

の解き方を教えて下さい!!
自力でやっているので、できれば詳しく教えてもらえると有難いです。
お願いしますm(__)m

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■39125 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分

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□投稿者/ ottfoekst 一般人(6回)-(2009/07/24(Fri) 22:10:50)

(1)

積和公式 $2$\cos {(3x)}\cos {x}=\frac{1}{2}(\cos {(4x)}+\cos {2x})$ (加法定理 $2$\cos {(\alpha +\beta)}=\cos {\alpha}\cos {\beta}-\sin {\alpha}\sin {\beta},\cos {(\alpha -\beta)}=\cos {\alpha}\cos {\beta}+\sin {\alpha}\sin {\beta}$ の両辺をそれぞれ足すことで得られます。 $2$\alpha=3x,\beta=x$ としたのがこの式です。)を用いて、

$2$\displaystyle\int_{0}^{\pi}{\cos {(3x)}\cos {x}}dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}{(\cos {(4x)}+\cos {2x})}dx=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{4}\sin {(4x)}+\frac{1}{2}\sin {2x} \right]_{0}^{\pi}=0$

(2)

$2$e^x-\frac{1}{\sqrt{e^x}}=e^x\left(1-\frac{1}{e^{3x/2}} \right)$ だから( $2$e^x$ の微分が $2$e^x$ であることを使って置換積分するため、 $2$e^x$ を無理やりくくりだしました。)、 $2$t=e^x$ と置換すると、 $2$dt=e^x dx$ で $2$x:0 \rightarrow 1$ で $2$t:1 \rightarrow e$ であるから、

$2$\displaystyle\int_{0}^{1} {e^x\left(1-\frac{1}{e^{3x/2}} \right)}dx=\displaystyle\int_{1}^{e}{\left(1-\frac{1}{t^{3/2}} \right)}=\left[t+\frac{2}{t^{1/2}} \right]_{1}^{e}=e+\frac{2}{\sqrt{e}}-3$

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■39139 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分

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□投稿者/ さ- 一般人(2回)-(2009/07/25(Sat) 23:06:25)

ありがとうございます!!
もう一回自分でやってみます♪

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■39143 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 積分

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□投稿者/ さ- 一般人(3回)-(2009/07/26(Sun) 22:25:25)

(1)は解けました！
(2)はまだ分かりませんでした。
(e^x-1)/√e^xをe^x-1/√e^xに変形するにはどうすればいいのですか?

(e^x-1)/√e^x=e^x/√e^x-1/√e^x
=e^x/(e^x×e^-x/2)
と解いていったんですけど、上の式のようにはならなくて…

お願いします!!

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■39152 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 積分

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□投稿者/ ottfoekst 一般人(7回)-(2009/07/28(Tue) 10:55:16)

2009/07/28(Tue) 10:56:55 編集(投稿者)

問題文中のe^x-1/√e^xを僕はe^x-(1/√e^x)と解釈したため、最初の解答になりました。実際はe^x-1/√e^xが(e^x-1)/√e^xであるなら僕の問題文の解釈ミスですね。このような解釈ミスが起こりうるので、これからは(e^x-1)/√e^xのように分子がどこまでなのか括弧できちんと示すようお願いします。

この場合は

$2$\displaystyle\int_{0}^{1}{(e^{x/2}-e^{-x/2})}dx=\left[2e^{x/2}+2e^{-x/2} \right]_{0}^{1}=2 \left(\sqrt{e}+\frac{1}{\sqrt{e}}\right)-4$

になります。

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■39166 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 積分

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□投稿者/ さ- 一般人(4回)-(2009/07/29(Wed) 22:02:46)

すみません。
以後気をつけます.

ありがとうございました!
解けました!

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