数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 余因子行列の行列式 / Page: 0]

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■39101 / inTopicNo.1)

　余因子行列の行列式

□投稿者/ army 一般人(32回)-(2009/07/23(Thu) 21:00:54)

いつもお世話になっています。ちょっと大学レベルですが、答えていただけませんか。

n次正方行列A（正則かどうかは分からない）の余因子行列の行列式は
Aの行列式の(n-1)乗であることの証明です。

もちろん最初は、余因子行列をBとして

A^(-1)*|A|*I＝B　（Iは単位行列）

を書いてみて、両辺にさらに||を施してやればいいのかなあと思いましたが、
手が止まってしまいました。
どうしたら(n-1)乗が出てくるのでしょうか。大学受験用の古い参考書の指針にちょこっと書かれていて証明がなかったので気になっていたものです。
教えてください。

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■39102 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 余因子行列の行列式

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□投稿者/ だるまにおん付き人(70回)-(2009/07/23(Thu) 21:47:24)

$2$A$ が行列、 $2$k$ が定数のとき、 $2$|kA|=k^n|A|$ です。

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■39114 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 余因子行列の行列式

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□投稿者/ army 一般人(33回)-(2009/07/24(Fri) 10:14:55)

■No39102に返信(だるまにおんさんの記事)
> $2$A$ が行列、 $2$k$ が定数のとき、 $2$|kA|=k^n|A|$ です。

早速回答ありがとうございます。あ～いわれてみればそうでした。恥ずかしいです。
ではA^(-1)*|A|*I＝Bで、両辺の行列式をとると

|A^(-1)*|A|*I|＝|B|
|A|^n*|A^(-1)|＝|B|

となりますよね。|A^(-1)|＝|A|^(-1)ということなんですか。

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■39117 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 余因子行列の行列式

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□投稿者/ だるまにおん付き人(71回)-(2009/07/24(Fri) 15:54:38)

そりゃぁそうですよね。
$2$A \cdot A^{-1} = E$
の両辺の行列式をとると
$2$ |A||A^{-1}|=1$
だから、
$2$ |A^{-1}|=|A|^{-1}$

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■39121 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 余因子行列の行列式

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□投稿者/ army 一般人(34回)-(2009/07/24(Fri) 17:51:07)

■No39117に返信(だるまにおんさんの記事)
> そりゃぁそうですよね。
> $2$A \cdot A^{-1} = E$
> の両辺の行列式をとると
> $2$ |A||A^{-1}|=1$
> だから、
> $2$ |A^{-1}|=|A|^{-1}$

すみません、頓馬な私はずっと悩んでいました。
ご丁寧にありがとうございました。無事解決しました。

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