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■38984 / inTopicNo.1) 　極座標表示された関数の面積と線の長さの考え方の違い
  ▼■
□投稿者/ Bambus 一般人(3回)-(2009/07/13(Mon) 01:58:19)
    初めてここを活用させていただきます。
    極座標表示された関数の面積を求める場合、微小面積dsを扇形で近似して
    ds=(1/2)r^2dθは分かります。ならば、同じ考えで線の長さを求める場合、この微小線分を扇形の円弧の長さと見なせば
    dl=rdθ　で可能ではないでしょうか?　ところが実際は、
    dl=√(r^2+r'^2)dθを使うようです。この説明は例えばここの投稿の21909番にも詳しく、これも理解できます(ここでは、円弧を二等辺三角形の底辺への近似として使っているようです)。扇形と近似して良い場合といけない場合の違いはどこなのでしょう?
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■38985 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 極座標表示された関数の面積と線の長さの考え方の違い
□投稿者/ らすかる 大御所(620回)-(2009/07/13(Mon) 02:36:11)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
    面積の場合、扇形で近似すれば、扇形を小さくすればするほど
    真値に近づきますので、扇形で近似できます。
    しかし、線の長さの場合、扇形をいくら小さくしても
    真値に近づきませんので、扇形では近似できません。

    面積と線の長さそれぞれについて、扇形の分割を半分にしたときに
    どの程度真値に近づくか、図を書いて考えてみるとよくわかると思います。

    正方形の対角線をのぼる階段のピッチをいくら小さくしても
    階段の線の長さが対角線の長さに近づかないのと同じことです。
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■38993 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 極座標表示された関数の面積と線の長さの考え方の違い
□投稿者/ Bambus 一般人(4回)-(2009/07/13(Mon) 21:45:51)
    らすかるさん　早々のレスありがとうございます。
    うーん、でも納得いきませんね


    > 正方形の対角線をのぼる階段のピッチをいくら小さくしても
    > 階段の線の長さが対角線の長さに近づかないのと同じことです。

    これは分かります。でも面積なら扇形は近づく？


    > 面積の場合、扇形で近似すれば、扇形を小さくすればするほど
    > 真値に近づきますので、扇形で近似できます。
    > しかし、線の長さの場合、扇形をいくら小さくしても
    > 真値に近づきませんので、扇形では近似できません。

    この違いを知りたいわけですが、 扇形の方が曲線で近似するので、三平方の定理を用いた直線近似よりずっと近似しているように思えてなりません。消化不良で気持ち悪いですが、ありがとうござました。

    PS)
    らすかるさんのホームページを見ました。私が面白かったのは「マージャン以外の数学」の方です。最近買ったカシオの電卓は、ＳＩＮ(45°)を√２／２って表示するのに驚きましたが、さすがにｓｉｎ（44°）は数値になりました。らすかる製の電卓ならあの√表示になるのでしょうか？(^^)　らすかるさんカシオに教えてあげればどうですか？
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■38994 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 極座標表示された関数の面積と線の長さの考え方の違い
□投稿者/ らすかる 大御所(622回)-(2009/07/13(Mon) 21:54:33)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
    2009/07/14(Tue) 02:03:03 編集(投稿者)

    上に書きましたが、正方形の対角線を縦横の線で近似することを考えてみてください。
    縦横の線で階段を作り、この階段をどんどん細かくして対角線に近づけていきます。
    すると、細かくすればするほど面積は1/2ずつに近くなりますが、
    線の長さはいくら細かくしても１辺の長さの２倍で、永久に対角線の長さに近づきません。
    これと同じことです。

    ＞扇形の方が曲線で近似するので
    扇形の中心角を小さくしていくのですから、どんどん「二等辺三角形」に
    近づくだけで、曲線で近似していることになりませんよ。
    二等辺三角形の底辺で
    −
    　−
    　　−
    　　　−
    のように近似しているだけです。


    ＞PS
    残念ながら、sin(44°) は√と四則演算では（虚数の累乗根を使わない限り）表せません。
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