数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 無限級数 / Page: 0]

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■38909 / inTopicNo.1)

　無限級数

□投稿者/ rabbit 一般人(1回)-(2009/07/07(Tue) 18:48:18)

-π≦x≦πのとき、無限級数
sin^2xcosx+sin^2xcos^2x+……+sin^2xcos^nx+……
の和をf(x)とおく。
(1)この無限級数の和を求めよ。
(2)lim[x→0]f(x)を求めよ。
(3)f(x)の増減を調べ、y=f(x)(-π≦x≦π）のグラフの概形を描け
(4)積分∫[π/4→π/2]f(x)dxの値を求めよ。

初めてなもんですいません。
数学が苦手なので
誰かよろしくお願いします。

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■38919 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 無限級数

▲▼■

□投稿者/ KINO 一般人(30回)-(2009/07/08(Wed) 00:14:46)

(1) 公比 $2$\cos x$ に着目すると， $2$|\cos x|=1$ のとき，つまり $2$x=0$ または $2$x=\pm\pi$ のとき， $2$\sin x=0$ なので和 $2$f(0)$ ， $2$f(\pm\pi)$ は0です。
$2$-\pi<x<\pi$ においては $2$|\cos x|<1$ なので，無限等比級数の公式が適用でき，
$2$f(x)=\frac{\sin ^2 x\cos x}{1-\cos x}$ となります。
$2$\sin ^2 x=1-\cos ^2 x$ であることを使えばこの式はもっと簡単になります。

(2) (1) で簡単にした f(x) の式を使えば楽です。

(3) これも比較的簡単にグラフが描けると思います。必要ならば導関数を求めて増減を調べても良いでしょう。

(4) 半角の公式 $2$\cos ^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ を使いましょう。

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