数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: すみませんでした。 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■38899 / inTopicNo.1)

　三角形

□投稿者/ kaeru 軍団(130回)-(2009/07/06(Mon) 21:16:05)

(1)点Oを端点とし、
∠AOB=c(0°<c<90°）、∠BOC=a(0°<a<180°）、∠COA=b(0°<b<90°)となる。
同一平面上にない3本の半直線OA,OB,OCがある。半直線OA上でOより距離1の点PからOP⊥PQ,OP⊥PRとなるような半直線OBとOC上に、それぞれ点Qと点Pをとる。このときQRの長さをa,b,cを用いて表せ。
(2)∠QPRの小さい方の角をθとするとき、cosθは次の式で求められる。
cosθ=(cosa-cosb・cosc)/(sinb・sinc)…①
a=90°、b=60°、c=45°のときに125°<θ<135°であることを示せ。
(3)式①を証明せよ。

すいませんお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■38912 / inTopicNo.2)

　Re[1]: (1)の解答例です。

▲▼■

□投稿者/ すっとこどっこい一般人(18回)-(2009/07/07(Tue) 22:36:40)

|↑OP|=1なので、
↑OP・↑OQ＝|↑OP||↑OQ|cosc＝|↑OQ|cosc,
↑OQ・↑OR＝|↑OQ||↑OR|cosa,
↑OR・↑OP＝|↑OR||↑OP|cosb＝|↑OR|cosb

OP⊥PQより、
↑OP・↑PQ＝↑OP・(↑OQ－↑OP)＝↑OP・↑OQ－|↑OP|^2＝|↑OQ|cosc－1＝0なので、
↑OP・↑OQ＝|↑OQ|cosc＝1となり、|↑OQ|＝1／cosc

OP⊥PRより、
↑OP・↑PR＝↑OP・(↑OR－↑OP)＝↑OP・↑OR－|↑OP|^2＝|↑OR|cosb－1＝0なので、
↑OP・↑OR＝|↑OR|cosb＝1となり、|↑OR|＝1／cosb

以上より、

↑OQ・↑OR＝|↑OQ||↑OR|cosa＝cosa／(cosb・cosc)なので、

|↑QR|^2＝|↑OR－↑OQ|^2＝(↑OR－↑OQ)・(↑OR－↑OQ)＝|↑OR|^2－2・↑OQ・↑OR＋|↑OQ|^2
＝(1／cosb)^2－2・cosa／(cosb・cosc)＋(1／cosc)^2
＝{(cosb)^2＋(cosc)^2－2・cosa・cosb・cosc}／(cosb・cosc)^2となり、

cosb＞0, cosc＞0なので、

QR＝|↑QR|＝√(|↑QR|^2)＝√{(cosb)^2＋(cosc)^2－2・cosa・cosb・cosc}／(cosb・cosc)である。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■38914 / inTopicNo.3)

　Re[2]:

▲▼■

□投稿者/ kaeru 軍団(131回)-(2009/07/07(Tue) 23:05:39)

すいませんこんなわかりやすく
ありがとうございます。
　
ほんとすいません

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■38915 / inTopicNo.4)

　Re[1]: (2)の考え方

▲▼■

□投稿者/ すっとこどっこい一般人(19回)-(2009/07/07(Tue) 23:27:15)

(2)は、以下のいずれかだと思いますが…?

(a) 120°＜θ＜135°の間違いである?

① 式①にa＝90°, b＝60°, c＝45°を代入すると、cosθ＝－1／√3が得られる。
② －1／2(＝cos120°)＞－1／√3(＝cosθ)＞－1／√2(＝cos135°)なので、OK

(b) cos125°の近似値、またはcos125°を求めるために必要な近似値が与えられている？

① 式①にa＝90°, b＝60°, c＝45°を代入すると、cosθ＝－1／√3が得られる。
② cos125°の近似値＞－1／√3(＝cosθ)＞－1／√2(＝cos135°)なので、OK

(c) 問題のとおり、125°＜θ＜135°を示す?

① 式①にa＝90°, b＝60°, c＝45°を代入すると、cosθ＝－1／√3が得られる。
② 45°と30°の三角比から加法定理を使ってsin15°, cos15°を求め、
③ α＝5°で3倍角の公式を使ってsin5°, cos5°を求め、
④ 120°と5°の三角比から加法定理を使ってcos125°を求め、
⑤ cos125°＞－1／√3(＝cosθ)＞－1／√2(＝cos135°)なので、OK

(c)だと、かなり面倒な答案になります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■38916 / inTopicNo.5)

　Re[1]: (3)の解答例です。

▲▼■

□投稿者/ すっとこどっこい一般人(20回)-(2009/07/07(Tue) 23:58:09)

2009/07/08(Wed) 08:21:53 編集(投稿者)

<参考> (1)の答案より、|↑OP|＝1, |↑OQ|＝1／cosc, |↑OR|＝1／cosb, ↑OP・↑OQ＝↑OP・↑OR＝1です。

|↑PQ|^2＝|↑OQ－↑OP|^2＝(↑OQ－↑OP)・(↑OQ－↑OP)＝|↑OQ|^2－2・↑OP・↑OQ＋|↑OP|^2
＝(1／cosc)^2－2・1＋1^2＝{1－(cosc)^2}／(cosc)^2となり、

sinc＞0, cosc＞0なので、
|↑PQ|＝√(|↑PQ|^2)＝√[{1－(cosc)^2}／(cosc)^2]＝√{(sinc)^2／(cosc)^2}＝sinc／cosc
　↑ 直角三角形OPQから求めることもできます。

|↑PR|^2＝|↑OR－↑OP|^2＝(↑OR－↑OP)・(↑OR－↑OP)＝|↑OR|^2－2・↑OR・↑OP＋|↑OP|^2
＝(1／cosb)^2－2・1＋1^2＝{1－(cosb)^2}／(cosb)^2となり、

sinb＞0, cosb＞0なので、
|↑PR|＝√(|↑PR|^2)＝√[{1－(cosb)^2}／(cosb)^2]＝√{(sinb)^2／(cosb)^2}＝sinb／cosb
　↑ 直角三角形OPRから求めることもできます。

(1)より、|↑QR|^2＝{(cosb)^2＋(cosc)^2－2・cosa・cosb・cosc}／(cosb・cosc)^2

以上より、

cosθ＝(PQ^2＋PR^2－QR^2)／(2・PQ・PR)　←△PQRについて余弦定理の変形
＝(|↑PQ|^2＋|↑PR|^2－|↑QR|^2)／(2|↑PQ||↑PR|)
＝…(省略)＝(cosa－cosb・cosc)／(sinb・sinc)

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■38918 / inTopicNo.6)

　（削除）

▲▼■

□投稿者/ -(2009/07/08(Wed) 00:03:37)

この記事は(投稿者)削除されました

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■38920 / inTopicNo.7)

　Re[3]: (3)の解答例です。

▲▼■

□投稿者/ KINO 一般人(31回)-(2009/07/08(Wed) 00:20:41)

＞すっとこどっこいさん

さしでがましいとは思いますが，記事の編集の仕方についてです。

この掲示板の一番下に，[削除／編集フォーム]という欄があります。
ここに，記事を投稿する際の編集画面で設定できる「削除キー」（パスワードみたいなものだと思います）を入力し，編集したい記事の No を記事No の欄に入力して送信ボタンを押せば，編集時に削除キーを設定した自分の投稿記事については編集することができます。
編集時に削除キーが設定されていなければ編集や削除は多分できません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■38921 / inTopicNo.8)

　Re[4]: すみませんでした。

▲▼■

□投稿者/ すっとこどっこい一般人(22回)-(2009/07/08(Wed) 00:32:21)