数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 二次関数 / Page: 0]

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■38893 / inTopicNo.1)

　二次関数

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□投稿者/ 雪坊主一般人(5回)-(2009/07/06(Mon) 17:22:29)

ｂ＞０とする。放物線 $2$y=ax^2$ が、(0,0) (b,0) (b,b) (0,b)を頂点とする、
正方形の面積を二等分するように、正の定数aの値を求めなさい。

この問題が分かりません。よろしくお願いします。

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■38898 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 二次関数

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□投稿者/ X 一般人(49回)-(2009/07/06(Mon) 21:13:27)

問題の放物線と正方形の頂点の一つである
点(b,b)
との位置関係により、２通りに場合分けします。

(i)b≧ab^2、つまりa≦1/bのとき
点(b,b)は領域y≧ax^2に存在しますので題意を満たすためには
∫[0→b](ax^2)dx=(1/2)b^2
これをaについての方程式と見て解くと…。

(i)b＜ab^2、つまり1/b＜aのとき
点(b,b)は領域y＜ax^2に存在しますので題意を満たすためには
∫[0→b](b-ax^2)dx=(1/2)b^2
これをaについての方程式と見て解くと…。

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■38902 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 二次関数

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□投稿者/ DANDY　U 付き人(60回)-(2009/07/07(Tue) 01:09:45)

2009/07/07(Tue) 09:16:45 編集(投稿者)
2009/07/07(Tue) 09:15:26 編集(投稿者)

Xさんの回答において
> (i)b≧ab^2、つまりa≦1/bのとき
このとき、グラフは下に凸だからあきらかに　∫[0→b](ax^2)dx＜(1/2)b^2　ですから、解く必要もないかと・・・

> (i)b＜ab^2、つまり1/b＜aのとき
> ∫[0→b](b-ax^2)dx=(1/2)b^2
ax^2＞b の範囲では　b-ax^2＜0　だから　[0→b]の範囲で積分すると放物線が正方形より上にある部分の面積が引かれてしまい、おかしくなりますね。

【解法】ｙ＝ax^2 とｙ＝ｂ　の(ｘ＞0での)交点のｘ座標は　ｘ＝√(b/a)　です。
√(b/a)≧b　のとき明らかに不適なので、√(b/a)＜b のときを考えればよいでしょう。

だから　∫[0→√(b/a)](b－ax^2)dx＝(1/2)b^2
を変形して　ａ＝…　の形にすればよいでしょう。
（あとで「(交点のｘ座標)＜ｂ」を確認しておきましょう）

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■38905 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 二次関数

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□投稿者/ 雪坊主一般人(6回)-(2009/07/07(Tue) 12:58:55)

> だから　∫[0→√(b/a)](b－ax^2)dx＝(1/2)b^2

これを解いていったら

a=16/9bになりました。ただ、解答にはa=9b/16になっていたんですが、
私の計算間違えでしょうか？
何回計算してもあいません…

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■38907 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 二次関数

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□投稿者/ DANDY　U 付き人(61回)-(2009/07/07(Tue) 17:37:14)

2009/07/07(Tue) 17:40:21 編集(投稿者)

私も a＝16/(9b) と求めていました。
この値が正しく、解答が間違っています。

１辺 b0 の正方形の面積を二等分する放物線のx^2の係数をａ0 とします。
いま、１辺が b1(＝2*b0) の正方形をこの放物線(ｙ＝a0*x^2) で分割するとき、(0,b1)を含む側の部分の面積は、正方形の半分よりかなり小さくなりますね。

１辺 b1の正方形を半分にするには、x^2の係数をａ0より小さくせねば無理です。

ところが、解答ではａがｂに比例することになっており、ｂを２倍したときにａも２倍にならねばならず
明らかに上記のことと矛盾しており、a＝9b/16　は有り得ないことです。

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■38917 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 二次関数

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□投稿者/ X 付き人(50回)-(2009/07/08(Wed) 00:00:43)

>>DANDY Uさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>雪坊主さんへ
ごめんなさい、計算を間違えていました。
レスの流れを考え、修正はせずにそのままにしておきます。

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■38924 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 二次関数

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□投稿者/ 雪坊主一般人(8回)-(2009/07/08(Wed) 15:31:34)