数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 定積分 / Page: 0]

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■38854 / inTopicNo.1)

　定積分

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□投稿者/ りん一般人(6回)-(2009/07/01(Wed) 01:58:11)

ある問題の解説に、

『連続関数f(x)のある区間での定積分が0であれば、その区間内において少なくとも1回は符号の変化がある』

とあるのですが、どうしてそういえるのかが分からないです。教えてください、お願いします。

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■38855 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 定積分

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□投稿者/ KINO 一般人(24回)-(2009/07/01(Wed) 02:32:29)

それは厳密には間違いです。

ずーっと 0 の値しか取らない定数関数は連続関数で，しかもどんな区間でも定積分の値は 0 です。しかしこの関数は符号変化しませんね。

さて，そういう定数関数でなければ話は別です。
ただし，ちゃんとした証明は大学の範囲になります。
りんさんは大学生？それとも高校生？どちらでしょうか。

高校生なら，「もし関数が定数関数でなく，一箇所でも 0 より大きいところがあったら，グラフを描いてみるとグラフに囲まれる図形の面積（＝定積分の値）は 0 じゃないよな。それを打ち消すためにはグラフが x 軸の下側にもぐって定積分が負になることがないといけない。とうことは関数が正の値だけでなく負の値も取らなくてはいけないのか。」という感じで納得してください。

大学生なら，上に述べた話を厳密に証明するにはどうするのかを解説しましょう。

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■38857 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 定積分

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□投稿者/ りん一般人(7回)-(2009/07/01(Wed) 14:53:27)

回答ありがとうございます。

＞それは厳密には間違いです。
ずーっと 0 の値しか取らない定数関数は連続関数で，しかもどんな区間でも定積分の値は 0 です。しかしこの関数は符号変化しませんね。
さて，そういう定数関数でなければ話は別です。

なるほど。ちなみにうちの問題の関数は2次関数です。

＞ただし，ちゃんとした証明は大学の範囲になります。
りんさんは大学生？それとも高校生？どちらでしょうか。

高3文系です^^

＞グラフに囲まれる図形の面積（＝定積分の値）は 0 じゃないよな。

ここが全然分からないです。どうして面積なんて話になるのですか？

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■38861 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 定積分

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□投稿者/ KINO 一般人(26回)-(2009/07/02(Thu) 00:47:41)

> なるほど。ちなみにうちの問題の関数は2次関数です。

例えば，
$2$\displaystyle\int^{1}_{-1}(3x^2-1)dx=0$
で，積分された関数 y=3x^2-1 はこの積分区間で確かに正にも負にもなっています。

一方， $2$y=2x^2+1$ は常に正の値しかとりませんが，
$2$ \displaystyle\int^{b}_{a}(2x^2+1)dx=b^2-a^2+(b-a)$
は， $2$a<b$ であれば必ず 0 より大きいので，どんな積分区間でも定積分の値が 0 になることはありませんね。

> 高3文系です^^

文系なら数IIどまりですよね？もしや数IIIを習っているとか・・・？
『連続関数』って言葉のちゃんとした定義は習いましたか？
習っていないならあまりこだわらず他の問題に取り組んだ方がいいと思います。

> ＞グラフに囲まれる図形の面積（＝定積分の値）は 0 じゃないよな。
>
> ここが全然分からないです。どうして面積なんて話になるのですか？

え゛っ。定積分を習ったときに，定積分で図形の面積を求めることができるということは習いませんでしたか・・・？

ともかく，どういう問題についてどういう解説がされているのか，もう少し教えていただかないとお力になれそうにないです。

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■38862 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 定積分

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□投稿者/ りん一般人(8回)-(2009/07/02(Thu) 06:45:41)

またの回答ありがとうございます。

＞文系なら数IIどまりですよね？もしや数IIIを習っているとか・・・？
＞え゛っ。定積分を習ったときに，定積分で図形の面積を求めることができるということは習いませんでしたか・・・？

今週の月曜日から数学Ⅱの定積分というところに入りました。教科書を見たらずっと後ろの方に「定積分と面積」がありましたが、まだそこまではいってません。でもこの問題は普通に授業でやってましたよ(もちろんぜ～んぜんわかりませんでした)。

＞『連続関数』って言葉のちゃんとした定義は習いましたか？

言われてみれば、連続関数ってはじめて聞くかも？です。2次関数とは違うんですか？

＞ともかく，どういう問題

「a,b,cはどれも0でない実数，kを正の数とし，ak^2+bk+c=0が成り立つとする。このとき，
2次方程式3ax^2+2bx+c=0は0＜x＜kの範囲に少なくとも1つ解を持つことを示せ。」

問題は↑のようなものです。ak^2+bk+cの定積分が0になるからどうのと言ってました。

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■38863 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 定積分

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□投稿者/ miyup 大御所(864回)-(2009/07/02(Thu) 08:04:46)

KINOさんへ

教科書（数Ⅱ）によっては、定積分を計算として定義していますので
早い段階で面積の話ができないことがあります。

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■38864 / inTopicNo.7)

　Re[3]: 定積分

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□投稿者/ KINO 一般人(27回)-(2009/07/02(Thu) 10:09:21)

■No38863に返信(miyupさんの記事)
> 教科書（数Ⅱ）によっては、定積分を計算として定義していますので
> 早い段階で面積の話ができないことがあります。

おっしゃる通りですね。そういう可能性をすっかり見落としていました。
けれども，連続関数がどうのといっているので，「早い段階」とは思いもしませんでした・・・。

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■38870 / inTopicNo.8)

　Re[1]: 定積分

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□投稿者/ りん一般人(9回)-(2009/07/04(Sat) 12:45:39)

あの～、結局『連続関数f(x)のある区間での定積分が0であれば、その区間内において少なくとも1回は符号の変化がある』とはどういうことなんでしょうか？

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■38883 / inTopicNo.9)

　Re[2]: 定積分

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□投稿者/ KINO 一般人(29回)-(2009/07/05(Sun) 23:28:48)

定積分について予備知識がほとんどない状態ではこの一文の意味を理解するのは無理だと思います。

申し訳ありませんが，少なくとも僕の説明能力を超えており，『そういうもんだ』としか言いようがありません。

以前にも書きましたが，これ以上こだわらないのが得策だと思います。
こだわりたければ，このような解説をした当人に直接（可能な場合は）お問い合わせ下さい。

# もちろん，他の方が解説して下さる可能性もあります。

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