数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: ネピアの数って？ / Page: 0]

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■38747 / inTopicNo.1)

　ネピアの数って？

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□投稿者/ さき一般人(1回)-(2009/06/27(Sat) 09:27:38)

ネピアの数e の近似値はどうやって求めるんですか？

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■38750 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ネピアの数って？

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□投稿者/ だるまにおん付き人(56回)-(2009/06/27(Sat) 10:19:54)

$2$e=\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ を使ってみたらどうでしょうか？

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■38755 / inTopicNo.3)

　Re[1]: ネピアの数って？

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□投稿者/ らすかる大御所(615回)-(2009/06/27(Sat) 19:59:19)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

小数点以下６桁計算の例
　　1.000000 → 1.000000
÷1=1.000000 → 1.000000+1.000000=2.000000
÷2=0.500000 → 2.000000+0.500000=2.500000
÷3=0.166667 → 2.500000+0.166667=2.666667
÷4=0.041667 → 2.666667+0.041667=2.708334
÷5=0.008333 → 2.708334+0.008333=2.716667
÷6=0.001389 → 2.716667+0.001389=2.718056
÷7=0.000198 → 2.718056+0.000198=2.718254
÷8=0.000025 → 2.718254+0.000025=2.718279
÷9=0.000003 → 2.718279+0.000003=2.718282
÷10=0.000000 → おわり

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■38802 / inTopicNo.4)

　Re[1]: ネピアの数って？

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□投稿者/ teiji 一般人(4回)-(2009/06/29(Mon) 10:45:21)
http://rmath.web.fc2.com/

どうもこんにちは。
$2$ e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$
より、右辺を有限項できれば、任意の自然数 $2$N$ に対して常に、
$2$ e \geq \sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}$
が成り立ちます。
問題は、上からの評価ですが、
$2$ e = 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{N!}+\frac{1}{(N+1)!}+\frac{1}{(N+2)!}+\cdots$
$2$ \leq 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{N!}+\frac{1}{(N+1)!}(1+\frac{1}{N+1}+\frac{1}{(N+1)^2}+\cdots) = 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{N!}+\frac{1}{(N+1)!}\frac{1}{(1-\frac{1}{N+1})}$
$2$ =1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{N!}+\frac{1}{N!}\frac{1}{N}$
よってあわせて、
$2$ 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{N!} \leq e \leq 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{N!}+\frac{1}{N!}\frac{1}{N}$
を得ます。
あとは、
必要に応じて $2$N$ を十分大きくとれば、
よりよい近似値が得られます。

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