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■38679 / inTopicNo.1)  (2z+5)/(exp(2z)-1)の留数の求め方はこれで
  
□投稿者/ noname 一般人(1回)-(2009/06/19(Fri) 03:26:57)
    f(z):=(2z+5)/(exp(2z)-1)の時
    留数 Res_{z=0}f(z)を求めたいですが

    t:=exp(z)とするとz=0の時t=1で(2z+5)/(exp(2z)-1)=(2lnt+5)/(t^2-1)
    そこでg(t):=2lnt+5はt=1で正則でg(1)=5≠0なので
    Res_{z=0}f(z)=Res_{t=1}(2lnt+5)/(t^2-1)
    =Res_{t=1}(2lnt+5)/((t+1)(t-1))
    =Res_{t=1}(2lnt+5)/(t+1)/(t-1)
    =lim_{t→1} (t-1) (2lnt+5)/(t^2-1)
    =lim_{t→1} (2lnt+5)/(t+1)=5/2
    でいいのでしょうか?
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■38680 / inTopicNo.2)  Re[1]: (2z+5)/(exp(2z)-1)の留数の求め方はこれで
□投稿者/ サボテン 大御所(403回)-(2009/06/19(Fri) 08:49:23)
    やり方は少し問題がありますが、答えは合っています。

    やり方の問題点は、lnを導入したところにあります。
    複素関数ではlnは多価関数になるので、取り扱いに注意が必要です。

    本質的には同じことですが、
    z〜0において、
    exp(2z)-1=2z+(2z)^2/2+(2z)^3/3!+・・・=2z[1+(2z)/2+(2z)^2/3!+・・・]
    1/(exp(2z)-1)=(1-(2z)/2+・・・)/(2z)

    と展開されるので、z〜0で
    1/(exp(2z)-1)〜1/(2z)
    として計算されることをお勧めします。



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■38694 / inTopicNo.3)  Re[2]: (2z+5)/(exp(2z)-1)の留数の求め方はこれで
□投稿者/ noname 一般人(2回)-(2009/06/20(Sat) 01:33:39)
    > やり方の問題点は、lnを導入したところにあります。
    > 複素関数ではlnは多価関数になるので、取り扱いに注意が必要です。

    ,,としますと,lnの使用時にどういう断りを付け加えるべきなのでしょうか?

    > 本質的には同じことですが、
    > z〜0において、

    すいません。〜という記号はどういう意味なのでしょうか?

    > exp(2z)-1=2z+(2z)^2/2+(2z)^3/3!+・・・=2z[1+(2z)/2+(2z)^2/3!+・・・]

    ここまでOKですが

    > 1/(exp(2z)-1)
    > =(1-(2z)/2+・・・)/(2z)

    どうしてこのように変形できるのですか?

    > と展開されるので、z〜0で
    > 1/(exp(2z)-1)〜1/(2z)
    > として計算されることをお勧めします。

    ん? 1/(exp(2z)-1)〜1/(2z)は
    1/(exp(2z)-1)≒1/(2z)
    という意味なのでしょうか? 記号〜は近似値の意味?

    すいません。
    「1/(exp(2z)-1)〜1/(2z)として計算する」
    とはどうすればいいのでしょうか?
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