 | 2009/06/17(Wed) 10:32:05 編集(投稿者)
(1)
f'(x)=3x^2-3a^2=3(x-a)(x+a) (A)
となることに注意すると
(i)a≠0のとき
f(x)はx=-aのときに極大、x=aのときに極小となります。
従ってy=f(x)のグラフを考えることにより、題意を満たすためには
-1≦-a (B)
a≦1 (C)
f(-a)=2a^3-b≧0 (D)
f(a)=-2a^3-b≦0 (E)
f(-1)=-1+3a^2-b≦0 (F)
f(1)=1-3a^2-b≧0 (G)
(B)(C)(D)と0≦aにより求める条件は
-2a^3≦b≦2a^3かつ3a^2-1≦b≦1-3a^2かつ0＜a≦1
注)(D)(E)の等号が同時に成り立つ場合は極値が存在しませんので
題意を満たしませんが、このとき、つまり
2a^3-b=-2a^3-b=0
の場合、(a,b)=(0,0)となりa≠0の条件を満たしませんので
解答中には特に書いていません。
(ii)a=0のとき
f(x)=x^3-b={x-b^(1/3)}{x^2+(b^(1/3))x+b^(2/3)}
b≠0とすると題意を満たしませんので、求める条件は
(a,b)=(0,0)
(i)(ii)をまとめて
-2a^3≦b≦2a^3かつ3a^2-1≦b≦-3a^2+1かつ0≦a≦1
となります。
(2)
Dの慨形は自分で描いてもらうことにして、求める面積をSとすると
Dの境界線である曲線b=-3a^2+1,b=3a^2-1の領域に含まれる交点の座標は(1/√3,0)
又、曲線b=2a^3,b=-3a^2+1の領域に含まれる交点
及び曲線b=-2a^3,b=3a^2-11の領域に含まれる交点
のa座標が共に1/2であることに注意して(これらは共にDの慨形に描き込みましょう)
S=∫[0→1/2]{2a^3-(-2a^3)}da+∫[1/2→1/√3]{(-3a^2+1)-(3a^2-1)}da
=…
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