数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 行列の成分に関する問題 / Page: 0]

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■38626 / inTopicNo.1)

　行列の成分に関する問題

□投稿者/ army 一般人(23回)-(2009/06/11(Thu) 20:04:31)

2009/06/12(Fri) 16:51:53 編集(投稿者)

30年くらい前のある国立大学に出題された数学の問題を偶然見つけたのですが、
答えは当然なく、ちょっと分からないでいます。

n次正方行列Aと逆行列A^(-1)の成分が全て整数ならば、Aの各列についてその列
に含まれる整数どうし互いに素（3数ならばそれらが共通因数を1以外に持たない）
であることを示せ。

どこから手をつけたらよいのかさっぱり分かりません。
漠然としたヒントですと、とても私なんかでは思いつかない、理解できないので
完全な解答ではないがそれにちかいアプローチを頂けたらと思います。
どなたかご教授願います。

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■38627 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 行列の成分に関する問題

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□投稿者/ だるまにおん一般人(47回)-(2009/06/12(Fri) 00:00:35)

2009/06/12(Fri) 00:45:42 編集(投稿者)

$2$ A = \left( {\begin{array} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{array}} \right)$ のとき、果たして成り立つでしょうか。

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■38629 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 行列の成分に関する問題

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□投稿者/ サボテン大御所(395回)-(2009/06/12(Fri) 12:14:44)

>各列についてその列
>に含まれる整数どうしは互いに素であることを示せ。

各列に含まれる整数全体で、互いに素という意味でしょうか？
それなら成り立つと思います。

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■38630 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 行列の成分に関する問題

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□投稿者/ army 一般人(24回)-(2009/06/12(Fri) 12:29:50)

だるまにおんさん、ありがとうございます。
やってみたのですが、計算ミスしているかもしれないですが、
-1 -2 2
2 5 -4
-1 -4 3
となりまして、第3列が成り立っていません。
すいません、零という数字は互いに素を考える上で考えてよい数なのですか。
例えば0と3は互いに素なのですか。
ちょっと混乱してしまいました。

サボテンさん、ありがとうございます。
はい、そのとおりです。各列について成り立てばよいという意味だと思います。
なぜ成り立つと分かるのか、こちらはさっぱりなのですが、
教えていただけませんか。

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■38631 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 行列の成分に関する問題

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□投稿者/ サボテン大御所(397回)-(2009/06/12(Fri) 13:39:26)

もう一度確認しますが、私の言う「互いに素」は共通因数が無いと言う意味です。
ですので例えば(1,2,2)も互いに素になります。

そういう認識で問題に合っていますか？

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■38632 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 行列の成分に関する問題

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□投稿者/ らすかる大御所(612回)-(2009/06/12(Fri) 16:36:23)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

> 例えば0と3は互いに素なのですか。
0と3は互いに素ではありません。0と1は互いに素です。
よって3数以上の場合は、
・0がなく3数が互いに素
・0が１個で残り2数が互いに素
・0が２個で残り1数が1または-1
の場合に互いに素と言えます。
参考： http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%92%E3%81%84%E3%81%AB%E7%B4%A0

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■38633 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 行列の成分に関する問題

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□投稿者/ army 一般人(25回)-(2009/06/12(Fri) 16:46:51)

2009/06/12(Fri) 16:49:36 編集(投稿者)

サボテンさん、
すいません、何か勘違いしていました。
らすかるさんが示してくださったページを読んで確認しました。
そのとおりです。

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■38634 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 行列の成分に関する問題

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□投稿者/ サボテン大御所(399回)-(2009/06/12(Fri) 16:56:58)

ヒントだけですが・・・時間がなくてすみません。

全てが整数の行列ＡとＢをかけたら単位行列になるとします。
つまり∑_i a_{ij}・b_{ji}=1

この時、ある列の整数が共通因数を持つと仮定して矛盾を導いてください。