数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 極限 / Page: 0]

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■38477 / inTopicNo.1)

　極限

□投稿者/ ＰＩck 一般人(6回)-(2009/05/30(Sat) 10:30:16)

(1)lim[x→∞]（√（n+1)-√n)
(2)lim[x→∞]1/n^4Σ(k=1→n)k^3
(3)lim[x→∞]n^3/3^n
(4)lim[x→∞]2^n/n!
(5)lim[x→∞]√[n]2=1が成り立つことを示せ。

極限の解き方が全くわからなくて困っています!!
だれか教えてください。

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■38479 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん一般人(44回)-(2009/05/30(Sat) 11:37:49)

2009/05/30(Sat) 12:27:05 編集(投稿者)

lim[x→∞]ではなくてlim[n→∞]ですね。

$2$(1)$
$2$ \sqrt{n+1}-\sqrt{n} =\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0$
$2$(2)$
$2$ \frac{1}{n^4} \sum\limits_{k=1}^n k^3 = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n \left( \frac{k}{n} \right)^3 \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \displaystyle\int_{0}^{1} x^3 dx = \frac{1}{4}$

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■38480 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 極限

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□投稿者/ だるまにおん一般人(45回)-(2009/05/30(Sat) 12:25:00)

2009/05/30(Sat) 12:25:54 編集(投稿者)

$2$(3)$
$2$n\geq4$ のとき
$2$ 3^n = (1 + 2)^n = 1 + {_{n}C_{1}2} + {_{n}C_{2}4} + {_{n}C_{3}8} + {_{n}C_{4}16} + \cdots \geq { _{n}C_{4}16 } = \frac{ \ 2 \ }{ \ 3 \ } n(n-1)(n-2)(n-3) \geq \frac{ \ 2 \ }{ \ 3 \ } (n-3)^4$
したがって
$2$ \frac{ \ n^3 \ }{ \ 3^n \ } \leq \frac{ \ 3n^3 \ }{ \ 2\left( n-3 \right)^4 \ } \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0$

$2$(4)$
$2$ \displaystyle \frac{ \ 2^{n} \ }{ \ n! \ } = \frac{ \ 2^{n} \ }{ \ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot n \ } \leq 2 \left( \frac{ \ 2 \ }{ \ 3 \ } \right)^{n-2} \ \ \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0$

$2$(5)$
$2$ \sqrt[n]{2} = 1 + h \ \ \ (\ast)$
とおいて、
$2$ h\stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0$
を示せば良いです。 $2$(\ast)$ の両辺を $2$n$ 乗すると、
$2$ 2 = \left( 1 + h \right)^n = 1 + {_nC_1}h + \cdots \geq nh$
ゆえに
$2$ h \leq \frac{ \ 2 \ }{ \ n \ } \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0$

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