 | 修正：
(1) ０°＜α＜９０°とする。角βがα－β＝９０°－αを満たすとき、
tanβ＝（tan^2α－１）／２tanα が成り立つことを示せ。
α-β＝90°-α より
tan(α-β)＝tan(90°-α)
(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)＝1/tanα
これを整理して
tanβ＝(tan^2α-1)/(2tanα)
(2) a>1／２ とする。ｆ（ｘ）＝ｘ＾２－ｘ＋１とし、
放物線ｙ＝ｆ（ｘ）の点（a、ｆ（a））における接線をｌ［１］とする。
ｌ［１］とｘ軸とのなす角をα（０°＜α＜９０°）とするとき、tanαをaを用いて表せ。
f'(x)＝2x-1 より、点(a,f(a))における接線l[1]の傾きは f'(a)＝2a-1
すなわち
tanα＝2a-1
(3) ｌ［１］に関して直線x=aと対称な直線ｌ［２］とするとき、
ｌ［２］の方程式を求めよ。
l[2]とｘ軸とのなす角をβとおくと、α-β＝90°-α である。(←図より)
このとき(1)(2)より
tanβ＝(tan^2α-1)/(2tanα)＝2a(a-1)/(2a-1)
よってl[2]の方程式は
y-f(a)＝tanβ・(x-a)
すなわち
(2a^2-2a)x+(1-2a)y-a^2+3a-1＝0
(4) aの値にかかわらず、ｌ［２］は定点を通ることを示し、その座標を求めよ。
l[2]をaについて整理すると
(2x-1)a^2-(2x+2y-3)a+(y-1)＝0…①
ここで
2x-1＝0 かつ 2x+2y-3＝0 かつ y-1＝0 を満たすx,yは
x＝1/2,y＝1 で、このとき①はaの値にかかわらず成り立つ。
すなわち
l[2]は定点(1/2,1)を通る。
|
