数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[13]: 不等式の問題 / Page: 0]

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■3846 / inTopicNo.1)

　不等式の問題

□投稿者/ えるも一般人(1回)-(2005/09/11(Sun) 07:10:17)

この問題がわかりません。教えてください。

（１）任意の実数aに対して、不等式a^4＋b^3≧a^3＋ab^3が成り立つように実数bの値を求めよ。
（２）任意の整数aに対して、不等式a^4＋b^3≧a^3＋ab^3が成り立つように整数bの値を求めよ。

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■3847 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 不等式の問題

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□投稿者/ だるまにおん大御所(263回)-(2005/09/11(Sun) 07:37:20)

(1)a^4+b^3≧a^3+ab^3
⇔a^4-a^3+b^3-ab^3≧0
⇔(a-1)a^3-(a-1)b^3≧0
⇔(a-1)(a-b)(a^2+ab+b^2)≧0　ここで常にa^2+ab+b^2＞0なので
⇔(a-1)(a-b)≧0
任意の実数aについてこれが成り立つためには？(グラフを描いてみてね。)
(2)任意の整数aについて(a-1)(a-b)≧0が成り立つためには？(これもグラフで考えてみて。)

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■3865 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 不等式の問題

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□投稿者/ えるも一般人(2回)-(2005/09/11(Sun) 20:20:45)

遅くなりました（＞＜）

>ここで常にa^2+ab+b^2＞0なので

というのはどこからわかるのですか？？
それと、グラフ・・・？？すいません。よくわかりません。。
(a-1)(a-b)＝0と置いてa＝1、b＝1みたいな感じですか？？

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■3867 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 不等式の問題

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□投稿者/ だるまにおん大御所(267回)-(2005/09/11(Sun) 20:38:02)

あ、ごめんなさい。a^2+ab+b^2=(a+b/2)^2+3b^2/4≧0ですね。
ということは、b=0ではないときは、(a-1)(a-b)≧0がなりたてばよくて、
b=0のときは(a-1)a^3≧0は任意の実数で成り立たないですね。

f(a)=(a-1)(a-b)をグラフに描いてみると、任意の実数aでf(a)≧0が成り立つ
ためには、b=1でなければなりません。もしb≠1だとすると、1とbの間に絶対
f(c)<0となってしまう実数cが存在してしまいますね。

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■3869 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 不等式の問題

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□投稿者/ えるも一般人(3回)-(2005/09/11(Sun) 20:52:18)

＞a^2+ab+b^2=(a+b/2)^2+3b^2/4
この変形がわかりません。。a^2+ab+b^2=(a+b)^2-abということですか？？

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■3870 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 不等式の問題

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□投稿者/ えるも一般人(4回)-(2005/09/11(Sun) 20:55:44)

＞a^2+ab+b^2=(a+b/2)^2+3b^2/4
この変形がわかりません。。a^2+ab+b^2=(a+b)^2-abということですか？？
あ、すいません。今わかりました。

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■3871 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 不等式の問題

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□投稿者/ だるまにおん大御所(268回)-(2005/09/11(Sun) 20:58:09)

あ、ごめんなさい。平方完成したんです。ごめんなさいね。
(1)は分かっていただけたでしょうか？

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■3874 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 不等式の問題

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□投稿者/ えるも一般人(5回)-(2005/09/11(Sun) 21:07:22)

何度もすいません。。。
＞もしb≠1だとすると、1とbの間に絶対
f(c)<0となってしまう実数cが存在してしまいますね。
というのはどういうことですか？？

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■3875 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 不等式の問題

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□投稿者/ だるまにおん大御所(271回)-(2005/09/11(Sun) 21:15:41)

2005/09/11(Sun) 21:19:55 編集(投稿者)

例えばb=2のときは、
f(a)=(a-1)(a-b)=(a-1)(a-2)
ここで、f(3/2)=-1/4<0ですよね。
つまり、b=2のとき、3/2=cとおくと、f(c)<0となることになります。
一般的にb≠1のとき、c=(1+b)/2とおくと、常にf(c)<0です（あくまで一例ですが。）
これは、任意の実数aでf(a)≧0となることに反します。
任意のaでf(a)≧0が成り立つにはb=1でなければなりません。これが（1）の答えです。

つまり何を言っているかというと、f(a)=(a-1)(a-b)のグラフを描いたとき、
b≠1だったら、絶対f(a)<0となっちゃうところがある、ということです。

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■3878 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 不等式の問題

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□投稿者/ えるも一般人(6回)-(2005/09/11(Sun) 21:28:18)

おぉ！わかりました！！ありがとうございます！！
（２）の方は・・(a-1)(a-b)＜0と書いてあったのですが、なぜこうなるのかわかりません。。

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■3882 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 不等式の問題

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□投稿者/ だるまにおん大御所(273回)-(2005/09/11(Sun) 21:40:25)

2005/09/11(Sun) 21:53:57 編集(投稿者)

・・・・？？なんだろ、それ

取り敢えず（2）の方もグラフを利用しつつ考えると分かりやすいですよ。
任意の整数aについて(a-1)(a-b)≧0が成り立つような整数bの値ですが、
今度は、例えばb=2のときを考えると、任意の整数aでf(a)≧0になりますよね。
だって、b=2のとき、f(a)=(a-1)(a-2)＜0⇔1＜a＜2を満たす整数は無いですものね。

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■3884 / inTopicNo.12)

　Re[11]: 不等式の問題

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□投稿者/ えるも一般人(7回)-(2005/09/11(Sun) 21:54:50)

＞・・・・？？なんだろ、それ
任意の整数aに対してP(a)=(a^4+b^3)-(a^3+ab^3)≧０となる条件は、(a-1)(a-b)＜0の範囲に整数aを含まない事である。らしいのですが・・・。

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■3886 / inTopicNo.13)

　Re[12]: 不等式の問題

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□投稿者/ だるまにおん大御所(275回)-(2005/09/11(Sun) 22:12:41)

あぁ、確かにそうですね。ではそのやり方でやってみましょっか。
(a-1)(a-b)＜0・・・☆の範囲に整数が含まれないような整数bの値を求めましょう。
壱）☆⇔1<a<bのとき、bが2より大きいと、a=2が含まれてしまうのでbは2以下。またbは1より大きいので∴b=2
弐）☆⇔b<a<1のとき、bが0より小さいと、a=0が含まれてしまうのでbは0以上。またbは1より小さいので∴b=0
参）(1)より、b=1のときはOKでしたよね。
以上よりb=0,1,2

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■3888 / inTopicNo.14)

　Re[13]: 不等式の問題

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□投稿者/ えるも一般人(8回)-(2005/09/11(Sun) 22:18:25)

わかりました！！！本当に本当にありがとうございました（＾＾＊）

解決済み!

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