数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 1の3乗根 / Page: 0]

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■3842 / inTopicNo.1)

　1の3乗根

□投稿者/ Ｓ山口軍団(102回)-(2005/09/11(Sun) 00:53:58)

方程式z^3=1を解け。

この問題がわかりません。

テキストの解説を見ると
z=r(cosΦ+isinΦ)とおいてz^3=1を代入して

r^3(cos3Φ+isin3Φ)

となって

1(cos0°+isin0°)となっています。

どうしてサインとコサインが0°になるんでしょうか？

それだったら1(cos90°+isin90°)でもいいんじゃないでしょうか？

またΦは0°≦Φ<360°となっていますが
これは決まったことなんでしょうか？

複素数の乗根は苦手で全体の流れもいまいちわかりません。

おねがいします。

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■3856 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 1の3乗根

▲▼■

□投稿者/ moomin 付き人(57回)-(2005/09/11(Sun) 17:14:25)
http://user.ecc.u-tokyo.ac.jp/~g441069/HP/

まず方程式を解くときは
・解の範囲は何か
に注意しなくてはなりません。

今の場合解答から察するに
実数の範囲で解を求める問題だと思います。
(それにもかかわらず複素数を使って解いていますが！)

さて、複素数
z=r(cosΦ+isinΦ)　(0≦Φ<2π,0≦r)
がz^3=1を満たすならば
z^3=r^3(cos3Φ+isin3Φ)=1=1・(cos0+isin0)
ですから、
Φ=0,2π/3,4π/3　(∵0≦Φ<2π)
r=1　(上の等式において複素数の絶対値をみる)
でなければならず、
zが実数のときはｒ＝１,Φ=0しかありません。
逆にこのとき
ｚは与等式を満たすので解になります。

sinの定義からΦはラジアンでとらねば意味を持ちません。
また、全ての複素数は
z=r(cosΦ+isinΦ)　(0≦Φ<2π,0≦r)
で表されていて、しかもr=0以外のときは表示は一意的です。

Φは決まったものというより、表示が一意的になるように
今　僕が　「決めた」ものです

別にΦの範囲を変えてもいいですが、
それだと違うΦが同じ複素数を表したり、
Φとrで表せない複素数がでてきたりしてしまいます。

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■3921 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 1の3乗根

▲▼■

□投稿者/ Ｓ山口軍団(104回)-(2005/09/13(Tue) 17:05:47)

有難うございました。

＞z^3=r^3(cos3Φ+isin3Φ)=1=1・(cos0+isin0)

ここでコサインとサインが０になるのがやっぱりよく分からないんですが
どうしていきなり０になるんでしょうか？

おねがいします。

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■3925 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 1の3乗根

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□投稿者/ moomin 付き人(60回)-(2005/09/13(Tue) 20:01:52)
http://user.ecc.u-tokyo.ac.jp/~g441069/HP/

■No3921に返信(Ｓ山口さんの記事)

実部・虚部をそれぞれ比較すれば

(cosΦ,sinΦ)＝(1,0)
です。
cos,sinの定義から左辺は単位円上の点を極座標で表したものですから、
(1,0)を極座標で表したときの角度成分がΦに他なりません。
よってΦ＝2nπ (nは任意の整数)
ですが、今Φの範囲は決まっているのでn=0となります。

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■4057 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 1の3乗根

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□投稿者/ Ｓ山口軍団(108回)-(2005/09/18(Sun) 16:44:57)

なんとか理解できました！
有難うございました！助かりました！

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