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■38376 / inTopicNo.1) 　数列
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□投稿者/ ＰＩck 一般人(2回)-(2009/05/23(Sat) 11:33:50)
    数列{a[n]}を
    a[1]=0,a[n+1]=√(a[n]+2)(n=1,2,3,...)
    で定めるとき、すべての自然数に対してa[n]＞2が成り立つことを示せ。

    教えてください!
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■38378 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 数列
□投稿者/ X 一般人(32回)-(2009/05/23(Sat) 11:53:37)
    a[n]>2はa[n]<2のタイプミスと見て証明します。

    ∵)
    a[1]=0 (A)
    a[n+1]=√(a[n]+2) (B)
    として
    全ての自然数nに対して0≦a[n]<2 (P)
    であることをを証明します。
    (i)n=1のとき
    (A)より命題(P)は成立します。
    (ii)n=kのとき命題(P)の成立を仮定します。
    つまり
    0≦a[k]<2 (C)
    n=k+1のとき
    (B)を使うと
    a[n]=a[k+1]=√(a[k]+2) (D)
    関数f(x)=√(x+2)はxに関して単調増加であることに注意すると(C)(D)より
    √(0+2)≦a[n]<√(2+2)
    ∴√2≦a[n]<2
    となり、このときも命題(P)は成立します。

    以上から数学的帰納法により命題(P)は成立しますので
    問題の命題は成立します。
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■38401 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 数列
□投稿者/ ＰＩck 一般人(3回)-(2009/05/24(Sun) 10:16:14)
    すみません!
    細かい解答ありがとうございました!!
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