 | 問題の方程式を(A)とします。
(1)
(A)より{(logx)^2}/x=a
∴f(x)={(logx)^2}/xと置くと求める解の個数は
曲線y=f(x)と直線y=aとの交点の数に等しくなります。
そこでf'(x)を計算してx>0におけるf(x)の増減表を描き
y=f(x)のグラフの概形を描くことを考えましょう。
こちらの計算では
a<0のとき、解は0個
a=0,4/e^2<aのとき、解は1個
a=4/e^2のとき、解は2個
0<a<4/e^2のとき、解は3個
となりました。
(2)
(1)の結果からこのときa=4/e^2となります。
このときのy=f(x),y=aのグラフの位置関係を調べると
前半)
q=e^2となります。
後半)
y=f(x),y=aのグラフの位置関係により
p<1
は明らかに成立します。
残りの
e/(e+1)<p
ですが、(1)の過程から
0<x<1においてf(x)が単調減少
になることが分かりますので
f(e/(e+1))>f(p)
を証明します。
f(p)=a=…
f(e/(e+1))=…
(具体的に計算しましょう。)
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