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■38341 / inTopicNo.1)

　近似式の(1+x)^n≒1+nx証明

□投稿者/ 石ころ一般人(1回)-(2009/05/20(Wed) 21:00:24)

はじめまして。

初めてこの掲示板を利用させて頂きます。
宜しくお願い致します。

早速ですが、質問です。

近似式　(1+x)^n≒1+nx

を証明せよ、という課題が与えられたのですが、手も足も出ません…。
また、この近似式はどのような場面で使われるのですか？

どなたか、わかる方が居りましたらお願いします。

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■38342 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 近似式(1+x)^n≒1+nxの証明

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□投稿者/ 石ころ一般人(2回)-(2009/05/20(Wed) 22:25:46)

すみません。
書くのを忘れていましたが、

ｎは、　－1＜n＜1　です。

お願いします。

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■38343 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 近似式(1+x)^n≒1+nxの証明

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□投稿者/ X 一般人(29回)-(2009/05/20(Wed) 23:04:17)

2009/05/20(Wed) 23:05:50 編集(投稿者)

一般に|x|<<1なるｘに関して微分可能な関数f(x)について
f(x)≒f(0)+f'(0)x
なる近似式が成立します。
f(x)=(1+x)^n
とすると…。

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■38344 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 近似式(1+x)^n≒1+nxの証明

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□投稿者/ 石ころ一般人(3回)-(2009/05/20(Wed) 23:49:21)

ありがとうございます。

f(x)=(1+x)^n
からは、わかりました。

しかし、前半の

> 　一般に|x|<<1なるｘに関して微分可能な関数f(x)について
> 　f(x)≒f(0)+f'(0)x
> 　なる近似式が成立します。

の部分が、理解し難いのですが、もう少し詳しく解説してもらえますか？
特に、なぜ　|x|<<1　なのか？
そして、なぜこのときに
　
　　　f(x)≒f(0)+f'(0)x

が成り立つのかについて。

お願いします。

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■38345 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 近似式(1+x)^n≒1+nxの証明

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□投稿者/ らすかる大御所(599回)-(2009/05/21(Thu) 00:01:02)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

f(x)のグラフと、それに(0,f(0))で接する直線を考えてみてください。
xが十分0に近ければ、f(x)とその接線は近い値をとりますね。
その接線の式は f(0)+f'(0)x です。

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■38349 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 近似式(1+x)^n≒1+nxの証明

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□投稿者/ 石ころ一般人(4回)-(2009/05/21(Thu) 15:30:50)

何とか理解できました。
ありがとうございます。

証明せよ、と言われると、どうしても何十行にもわたって
数式や文章を書くイメージが強かったのですが、
こんなにもアッサリ証明できるとは意外でした。

皆さんどうもありがとうございました。

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