 | 2005/09/13(Tue) 02:14:39 編集(投稿者)
2005/09/13(Tue) 00:45:48 編集(投稿者)
修正したのを再掲。
1-2cosx=0 はf(x)=0を満足しないので、これで割って、
n=xsinx/(2cosx-1)=g(x)とおく。
g’(x)=(sinx(2cosx-1)+x(2-cosx))/(2cosx-1)^2
ここで、0＜x＜π/3では明らかにg’(x)＞0
また、π/3＜x＜π/2ではsin(2cosx-1)＜0であるが、
|sinx(2cosx-1)|＜1・1＜π/3・1＜x(2-cosx)
よってg’(x)＞0
つまり0＜x＜π/2でg(x)は単調増加であるが、
g(0)=0
g(x)→∞（x→π/3-0）
g(x)→-∞（x→π/3+0）
g(π/2)=-π/2
従って、n＞0であれば、x[n]は必ず1個存在し、
x[n]→α=π/3 (n→∞)である。
n(x[n]-α)=x[n]sinx[n]/(2cosx[n]-1)・(x[n]-π/4)
ここで、n→∞の時、x[n]→π/3となるが、
x[n]sinx[n]→π/3・√3/2
(x[n]-π/4)/(2cosx[n]-1)→1/(2cos’(π/3))=-1/√3
よって、n(x[n]-α)→π/3・√3/2・(-1/√3)=-π/6
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