 | (1)
y=-x^2
y’=-2x
y=-x^2 上の点(-t,-t^2)における接線の方程式は、
y+t^2=-2t(x-t)b , y=-2tx+t^2
これと、y=3(x-1)^2+a を、等置して整理すると
3x^2+2(t-3)x+a+3-t^2=0
接するので、判別式 D=(t-3)^2-3(a+3t^2)=4t^2-6t-3a=0 . . . . ①
接線が2本存在するためには、判別式 D=9+12a＞0
∴ a＞-3/4
(2)
① の解をα,βとすると、αβ=-3a/4
この点における、接線の傾きについて
(-2α)(-2β)=-1 ∴ -3a=-1 ∴a=1/3
(3)
2つの接線がx軸となす角を、θ_1,θ_2 とすると
tanθ_1=-2α , tan_θ_2=-2β
(tanθ_1)(tanθ_2)=4αβ=-3a
tanθ_1 - tanθ_2=-2α+2β=-2(α-β)
ここで①を解いて、α-βを計算すると(√(12a+9))/2
なす角が45°だから
tan(θ_1-θ_2)=(tanθ_1 - tanθ_2)/(1+tanθ_1 tanθ_2)=1
これに上の値を代入して、
(√(12a+9))/(1-3a)=1
2乗して整理すると、 9a^2-18a-8=0
a= (9±√153)/9
途中入力ミス注意し、計算は自分で確認する。
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