 | 2009/05/14(Thu) 17:02:47 編集(投稿者)
(1)
f(x)=2√x-logx
と置いてx≧1におけるf(x)の増減を調べましょう。
(2)
g(n)=log{(1+n)^(1/n)}
を考えると
g(n)=(1/n)log(1+n)<2(1/n)√(1+n) (A) (∵)(1)の結果より
一方
g(n)>0 (B)
(A)(B)より
0<g(n)<2√(1/n^2+1/n)
∴はさみうちの原理から
lim[n→∞]g(n)=0
となるので
lim[n→∞](1+n)^(1/n)=lim[n→∞]e^g(n)=1
となります。
(3)
これもはさみうちの原理を使います。
y=sinxのグラフと、このグラフ上の点(0,0),(π/2,1)を結んだ直線
y=2x/π
との位置関係を比較することにより0≦x≦π/2において
2x/π≦sinx≦1
∴0≦θ≦π/2において
(2+2θ/π)^n≦(2+sinθ)^n≦(2+1)^n=3^n
となるので
∫[0→π/2]{(2+sinθ)^n}dθ=I(n)
とすると
∫[0→π/2]{(2+(2/π)θ)^n}dθ＜I(n)＜∫[0→π/2](3^n)dθ (A)
(A)の各辺の積分を計算すると
{(π/2)/(n+1)}{3^(n+1)-2}＜I(n)＜(π/2)3^n
∴I(n)^(1/n)=J(n)
とすると
[{(π/2)/(n+1)}{3^(n+1)-2}]^(1/n)＜J(n)＜3(π/2)^(1/n)
問題の等式の左辺は
lim[n→∞]J(n)
と等しくなりますので、後は
lim[n→∞]3(π/2)^(1/n)=3 (B)
lim[n→∞][{(π/2)/(n+1)}{3^(n+1)-2}]^(1/n)=3 (C)
であることを確かめます。
(B)は見たまんまですが、(C)については(2)の結果を使えるように変形すれば、
導け出せます。
({3^(n+1)-2}から3^nをくくり出してみましょう。)
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