 | ■No38223に返信(kaeruさんの記事)
f(x)＝2x/(x^2+1) として解きます。
(1)
f(x)＝(2/x)/(1+1/x^2)として、lim[x→∞]f(x)＝lim[x→-∞]f(x)＝0
f'(x)＝-2(x+1)(x-1)/(x^2+1)^2 より、極値はf(-1)＝-1、f(1)＝1
(2)
直線と曲線の交点は、2x/(x^2+1)＝2^(-n) より x＝2^n±√{4^n-1}
２解のうち小さい方をα、大きい方をβとおく。
S[n]
＝∫[α→β] {f(x)-2^(-n)}dx
＝[log(x^2+1)-x/(2^n)][α→β] x^2+1＝{2^(n+1)}x に注意して
＝[(n+1)log2+logx-x/(2^n)][α→β]
＝log(β/α)-(β-α)/(2^n)
＝2log{2^n+√(4^n-1)}-2√{1-1/(4^n)}
(3)
S[n+1]
＝2log{2^(n+1)+√(4^(n+1)-1)}-2√{1-1/(4^(n+1))} より
S[n+1]-S[n]
＝2log[{2^(n+1)+√(4^(n+1)-1)}/{2^n+√(4^n-1)}]
-2√{1-1/(4^(n+1))}+2√{1-1/(4^n)}
∴
lim[n→∞]{S[n+1]-S[n]}＝2log2
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