 | ■No38162に返信(まなさんの記事)
> 数列｛x[n]},{y[n]｝を
> x[n]＝1/(n+1),y[n]＝Σ[k=1→n]2^(k-1)で定義するとき、数学的帰納法を用いてすべての自然数nに対して
> Σ[k=1→y[n]]x[k]≧n/2…☆が成り立つことを示せ。
x[n]＝1/(n+1), y[n]＝(2^n)-1 について
n＝1 のとき
左辺＝Σ[k=1→y[1]]x[k]＝x[1]＝1/2
右辺＝1/2 より
☆は成り立つ。
n＝m のとき☆が成り立つと仮定する。すなわち
Σ[k=1→y[m]]x[k]≧m/2
このとき
Σ[k=1→y[m+1]]x[k]
＝Σ[k=1→y[m]]x[k]＋Σ[k=y[m]+1→y[m+1]]x[k]
≧m/2＋(y[m+1]-y[m])・x[y[m+1]]
＝m/2＋(2^m)・1/{2^(m+1)}
＝m/2＋1/2
＝(m+1)/2
となり、☆は n＝m+1 でも成り立つ。
以上より
すべての自然数nに対して☆は成り立つ。
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