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■38050 / inTopicNo.1)

　確率の証明問題

□投稿者/ さくら一般人(2回)-(2009/04/24(Fri) 23:50:11)

2009/04/26(Sun) 00:05:46 編集(投稿者)

「事象Aが起こるとき、常に事象Bが起こるならば、
P(A)≦P(B)
である。」
という定理を、公理論的確率の定義を用いて証明せよ。
という問題です。

公理論的確率の定義は、

1つの空間Ωの部分集合からなる1つのσ集合体А(アー)の上で定義された、実数値をとる集合関数P(A) (A∈А(アー))が次の3つの条件

(1)∀A∈А(アー)に対し、P(A)≧0

(2)P(Ω)=1

(3)А(アー)に属し、かつ排反な事象列A[1],A[2],・・・ (A[i]∩A[j]=φ(i≠j))に対して、
P(∪(←∪の上に∞、下にi=1) A[i])= Σ(Σの上に∞、下にi=1) P(A[i])
が成り立つ。

を満たすとき、事象Aの起こる確率と呼ぶ。

＊AとА(アー)は見にくいと思ったので、Аには分かりやすいように(アー)と書いておきました。

この定義を使って、どのように定理を証明すればいいのでしょうか？

どなたか分かる方、宜しくお願いします。

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■38051 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 確率の証明問題

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□投稿者/ o 一般人(1回)-(2009/04/25(Sat) 16:09:17)

2009/04/25(Sat) 16:20:54 編集(投稿者)

$2$A,B\in\mathfrak{A}$ ならば $2$A\cap B \in\mathfrak{A}, A^c\cap B\in\mathfrak{A}$ で, $2$A\sub B$ のとき $2$C:=A^c\cap B$ とおけば ( $2$A=A\cap B$ に注意して) $2$B=A\sqcup C$ (disjoint union) ゆえ $2$P(B)=P(A)+P(C)\ge P(A).$

# \mathfrak（ドイツ文字）で \mathscr（スクリプト体）相当のフォントが出るのが
# 謎なのだがmimetexの仕様だろうか。
# バグや設定ミスの類か、管理人が意図してそうしているのだとしたら修正するほうが
# 良いのではないかと思う。
# 出力例
# * mathfrak: $2$\mathfrak{abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$
# * mathscr: $2$\mathscr{abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$
# * mathcal: $2$\mathcal{abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$
# ## 小文字のほうはどれも通常のイタリックが出力されているようだ。

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■38063 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 確率の証明問題

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□投稿者/ さくら一般人(4回)-(2009/04/25(Sat) 23:18:36)

2009/04/26(Sun) 00:06:26 編集(投稿者)

お返事ありがとうございます。

質問なのですが、最初に書かれている、

「A,B∈А(アー)ならば、A∩B∈А(アー),A^(c)∩B∈А(アー)」
とありますが、
なんでA,B∈А(アー)ということから、A∩B∈А(アー),A^(c)∩B∈А(アー)というのが分かったのでしょうか？

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